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Cuatro planos conductores paralelos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L, situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a (a\ll L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

  1. Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera está aislada y descargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, así como la carga que almacena cada una.
  2. Para el caso anterior, determine el campo eléctrico en todos los puntos entre las placas.
  3. Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿cómo cambian las cargas y los potenciales de las distintas placas? ¿Y los campos eléctricos entre las placas?
  4. Determine la variación de energía entre el estado anterior y el posterior a la conexión.

2 Cargas y potenciales iniciales

Existen dos formas alternativas de enfocar este problema: relacionar directamente las cargas con los potenciales a través de los coeficientes de capacidad, o bien analizar y resolver el circuito equivalente.

En ambos casos, interesa describir el circuito equivalente al sistema, que nos da las capacidades y autocapacidades, \overline{C}_{ij}, las cuales nos permiten calcular los coeficientes de capacidad, C_{ij}\,.

2.1 Empleando los coeficientes de capacidad

El circuito equivalente al sistema está formado, de entrada, por cuatro nodos correspondientes a cada conductor.

Imagen:circuito4placas0.gif

Entre cada dos nodos consecutivos habrá un condensador, que al despreciar los efectos de borde (pues L\gg a) tienen por valores los de condensadores planos:

Imagen:circuito4placas1.gif


\overline{C}_{12} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{a}\equiv C        \overline{C}_{23} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{3a}=\frac{C}{3}        \overline{C}_{3a} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{2a}=\frac{C}{2}


No lo habrá entre placas que estén separados por otra placa, ya que estarán apantallados. Así, no habrá condensador que una el conductor 1 con el 3 o el 4, ni el 2 con el 4.

Aparte habría que añadir un condensador entre cada nodo y tierra. De nuevo, estarán ausentes los de aquellos nodos de los cuales no pueda haber líneas que vayan al infinito.

Imagen:circuito4placas2.gif

Estos son el 2 y el 3, que se encuentran apantallados por el 1 y el 4. Si estarían los correspondientes a estos dos, \overline{C}_{11} y \overline{C}_{44}. No conocemos los valores de estas cantidades, pero, como veremos, esto no constituye un problema.

Una vez situados los condensadores, tenemos que añadir una conexión a una fuente por cada conductor que esté a potencial fijado. Éstos son el 1 y el 4, que están a tierra.

Imagen:circuito4placas3.gif

Ahora bien, al fijar en cero el potencial de estos dos nodos y ser nulo el potencial del infinito, estamos efectivamente cortocircuitando los condensadores \overline{C}_{11} y \overline{C}_{44}. Estos condensadores estarán descargados en todo instante y no afectarán a ningún resultado. Podemos, por tanto, limitarnos a considerar los tres condensadores planos cuyas capacidades son conocidas.

Imagen:circuito4placas4.gif

Además de los generadores de tensión, tenemos los generadores de carga conectados a cada nodo cuya carga este fijada. Estos son el nodo 2, que almacena una carga Q y el 3, que está descargado. Por ser el conductor 3 uno aislado y descargado, podemos omitir el generador de carga correspondiente.

Imagen:circuito4placas5.gif

Por tanto, el sistema se compone de tres condensadores, dos conexiones a tierra y un generador de carga.

Las relaciones entre las cargas y los potenciales las obtenemos sumando las cargas de los distintos condensadores unidos a cada nodo. Esto nos da las relaciones

Q_1 = \overline{C}_{12}\left(0-V_2\right)= -CV_2     Q = \overline{C}_{12}\left(V_2-0\right)+\overline{C}_{23}(V_2-V_3) =
C\left(V_2+\frac{1}{3}(V_2-V_3)\right)    0 = \overline{C}_{23}\left(V_3-V_2\right)+\overline{C}_{34}(V_3) =
C\left(\frac{1}{3}(V_3-V_2)+\frac{1}{2}V_3\right)    Q_4 =\overline{C}_{34}(0-V_3) =-\frac{C}{2}V_3

donde ya hemos sustituido directamente los cuatro datos

V_1=V_4=0\,    Q_2=Q\,    Q_3=0\,

y hemos simplificado las expresiones usando la abreviatura C=\varepsilon_0 L^2/a.

Del sistema anterior, la segunda y la tercera ecuación proporcionan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, V2 y V3, que podemos escribir como

Q = \frac{C}{3}\left(4V_2-V_3\right)    0 = \frac{C}{6}\left(5V_3-2V_2\right)

De la segunda obtenemos que

V_3 = \frac{2}{5}V_2

y sustituyendo en la primera

Q = \frac{C}{3}\left(4V_2-\frac{2}{5}V_2\right)   \Rightarrow   V_2 = \frac{5Q}{6C} = \frac{5aQ}{6\varepsilon_0 L^2}   \Rightarrow   V_3 = \frac{Q}{3C} =\frac{aQ}{3\varepsilon_0 L^2}

Conocidos estos dos potenciales hallamos las cargas de los conductores exteriores

Q_1 = -CV_2 = -\frac{5Q}{6}    Q_4 = -\frac{C}{2}V_3=-\frac{Q}{6}

La carga total del sistema es nula

Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=-\frac{5Q}{6}+Q+0-\frac{Q}{6}=0

como corresponde a que en el exterior del sistema no haya campo eléctrico.

2.2 Empleando solo el circuito equivalente

Podemos determinar estas cargas y potenciales empleando exclusivamente el circuito equivalente.

Si nos centramos en el nodo 2, que almacena una carga Q, vemos que está conectado a tierra por dos ramas en paralelo. Una contiene un solo condensador, de capacidad C, y la otra dos condensadores en serie, de capacidades C / 2 y C / 3. El potencial de este nodo será
V_2 = \frac{Q}{C_\mathrm{eq}}

siendo la capacidad equivalente

C_\mathrm{eq}= C+ \frac{(C/2)(C/3)}{C/2+C/3} = C + \frac{C}{5} = \frac{6C}{5}

por lo que

V_2 = \frac{5Q}{6C}= \frac{5aQ}{6\varepsilon_0 L^2}

Una vez que tenemos el potencial del nodo 2, podemos hallar la carga Q1, que se encuentra en la placa negativa de un condensador de capacidad C, sometido a una tensión V2. Por tanto

Q_1 = -CV_2 = -\frac{5Q}{6}

Análogamente obtenemos la carga Q4, que se encuentra en la placa negativa del condensador de la segunda rama, de capacidad equivalente C / 5, por lo que

Q_4 = -\frac{CV_2}{5}=-\frac{Q}{6}

Conocido Q4 podemos hallar V3, ya que entre este nodo y tierra existe un condensador de capacidad C / 2, del cual conocemos la carga (que es Q4). Por tanto

V_3 = \frac{-Q_4}{C/2}=\frac{Q}{3C}= \frac{aQ}{3\varepsilon_0 L^2}

El resultado, lógicamente, coincide con el obtenido anteriormente.

3 Campo eléctrico inicial

Una vez que tenemos los potenciales, el cálculo del campo es inmediato, ya que en el interior de un condensador de placas planas y paralelas, vacío, entre cuyas placas se establece una diferencia de potencial $V_1-V_2$, el campo eléctrico es uniforme y vale

\mathbf{E} = \frac{V_1-V_2}{a}\mathbf{u}_{z}

siendo a la distancia entre placas y \mathbf{u}_{z} el unitario en la dirección de la placa 1 a la 2.

En nuestro caso, tenemos tres regiones, una por cada par de placas consecutivas. En cada región habrá un campo distinto. En la región I, entre la placa 1 y la 2 será

\mathbf{E}_\mathrm{I} = \frac{V_1-V_2}{a}\mathbf{u}_{z} = -\frac{5Q}{6\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z}

En la región II, entre la placa 2 y la 3

\mathbf{E}_\mathrm{II} = \frac{V_2-V_3}{3a}\mathbf{u}_{z} = \frac{5Q/6 - Q/3}{3\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z} = \frac{Q}{6\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z}

Y en la región III, entre la placa 3 y la 4

\mathbf{E}_\mathrm{III} = \frac{V_3-V_4}{2a}\mathbf{u}_{z}= \frac{Q}{6\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z}

En cada caso el campo eléctrico va desde la placa de mayor potencial a la de menor potencial.

Obsérvese que no hay discontinuidad entre \mathbf{E}_\mathrm{II} y \mathbf{E}_\mathrm{III}, como corresponde a que la placa 3 esté descargada.

4 Estado tras la conexión

4.1 Cargas y potenciales

Cuando se conectan las placas 2 y 3, parte de la carga de la placa 2 se va a la 3, que se encuentra inicialmente a menor potencial. El trasvase se detiene cuando los potenciales de ambas placas se igualan:

V_2 =V_3\,

La carga total acumulada entre las dos placas coincide con la que inicialmente se encontraba en la placa 2

Q_2+Q_3 = Q_{20}+Q_{30}=Q\,

Combinando estas dos ecuaciones con las que relacionan las cargas con los potenciales de las dos placas tenemos

Q_2 = CV_2+\frac{C}{3}(V_2-V_3) = CV_2     Q_3 = \frac{C}{3}(V_3-V_2)+\frac{C}{2}V_3 = \frac{CV_2}{2}

Sumando

Q = \frac{3CV_2}{2}    V_2 = \frac{2Q}{3C}=\frac{2aQ}{3\varepsilon_0 L^2}

y de aquí

V_2 = V_2 = \frac{2Q}{3C}\qquad \qquad Q_2 = CV_2 = \frac{2Q}{3}        Q_3 = \frac{CV_2}{2} = \frac{Q}{3}

Conocidos estos potenciales y cargas obtenemos las cargas de las placas exteriores, de la misma forma que lo hicimos antes:

Q_1 = -CV_2 = -\frac{2Q}{3}    Q_4=-\frac{CV_3}{2}=-\frac{Q}{3}

Sigue cumpliéndose que la carga total es nula.

Si empleamos el circuito equivalente, la conexión de la placa 2 con la

3, corresponde a cortocircuitar el condensador \overline{C}_{23}.

La carga Q se encuentra entonces conectada a tierra a través de dos ramas en paralelo. Una de las ramas posee capacidad C y la otra es ahora solamente C / 2, por lo que el potencial de este nodo 2' es

V_{2'}=V_2=V_3 = \frac{Q}{C_\mathrm{eq}}

con

C_\mathrm{eq}=C+\frac{C}{2} = \frac{3C}{2}

y por tanto

V_2 = V_3= \frac{2Q}{3C}

Conocidas esta tensión se calculan Q1 y Q4 como antes. Las cargas Q2 y Q3 ser hallan del mismo modo, pero considerando las placas positivas de cada uno de los condensadores en paralelo.

4.2 Campo eléctrico

El campo eléctrico en cada región será ahora

\mathbf{E}_\mathrm{I} = \frac{V_1-V_2}{a}\mathbf{u}_{z}=-\frac{2Q}{3\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z}     \mathbf{E}_\mathrm{II} = \frac{V_2-V_3}{3a}\mathbf{u}_{z} = \mathbf{0}    \mathbf{E}_\mathrm{III} = \frac{V_3-V_4}{2a}\mathbf{u}_{z}= \frac{Q}{3\varepsilon_0 L^2}\mathbf{u}_{z}

El campo entre las dos placas centrales es ahora nulo, por encontrarse al mismo potencial.

5 Variación en la energía

La energía antes y después de la conexión la podemos hallar a partir de la fórmula para un sistema de conductores. Inicialmente

U_\mathrm{i}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i=
\frac{1}{2}\left(Q_1{\cdot}0+QV_2+0{\cdot}V_3 + Q_4{\cdot}0\right) = \frac{QV_2}{2}=\frac{5Q^2}{12C}= \frac{5aQ^2}{12\varepsilon_0 L^2}

Tras la conexión

U_\mathrm{f} = \frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i=
\frac{1}{2}\left(Q_1{\cdot}0+Q_2V_2+Q_3{\cdot}V_3 + Q_4{\cdot}0\right) =
\frac{1}{2}(Q_2+Q_3)V_2 = \frac{QV_2}{2}= \frac{Q^2}{3C}=
\frac{aQ^2}{3\varepsilon_0 L^2}

La energía es en ambos casos QV2 / 2, pero el potencial V2 es diferente antes y después de la conexión.

La diferencia de energías es negativa

\Delta U = U_\mathrm{f} - U_\mathrm{i} =
\frac{Q^2}{C}\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{12}\right)=
-\frac{Q^2}{12C}

Esto indica que en el proceso de conexión se ha perdido energía, probablemente disipada por las corrientes en el proceso transitorio.

Este mismo cálculo puede hacerse mediante el circuito equivalente, ya que éste se reduce a un solo condensador en cada caso. la energía inicial será

U_\mathrm{i}= \frac{Q^2}{2C_\mathrm{eq}}=\frac{5Q^2}{12C}

y la final

U_\mathrm{f}= \frac{Q^2}{2C'_\mathrm{eq}}=\frac{Q^2}{3C}

llegándose al mismo resultado que anteriormente.

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