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Cuatro cargas en un rectángulo

De Laplace

1 Enunciado

Una carga puntual q_1 = 108\,\mathrm{nC} se encuentra situada en el origen de coordenadas. En x=25\,\mathrm{mm}, y=z=0\, se halla una segunda carga q2. En x=16\,\mathrm{mm}, y=12\,\mathrm{mm} se encuentra una tercera carga q3.

Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las posiciones indicadas, se desea que sea nula la fuerza sobre una carga q_4=10\,\mathrm{nC} situada en x=9\,\mathrm{mm}, y=-12\,\mathrm{mm}, z = 0.

2 Solución

La fuerza sobre la carga q4 es, de acuerdo con la ley de Coulomb y el principio de superposición

\mathbf{F}_4 = \frac{q_4}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1(\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_1)}{|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_1|^3}+\frac{q_2(\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_2|^3}+\frac{q_3(\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_3)}{|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_3|^3}\right)

En nuestro caso, midiendo las distancias en milímetros, tenemos que


\mathbf{r}_1=\mathbf{0}\,        \mathbf{r}_2=25\,\mathbf{u}_x        \mathbf{r}_3=16\mathbf{u}_x+12\mathbf{u}_y\,        \mathbf{r}_4=9\mathbf{u}_x-12\mathbf{u}_y
La posición relativa de q4 respecto a las otras tres cargas y las distancias correspondientes son
De q4 a q1
\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_1 = 9\mathbf{u}_x-12\mathbf{u}_y   \Rightarrow   \left|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_1\right| = \sqrt{9^2+12^2}=15
De q4 a q2
\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_2 = -16\mathbf{u}_x-12\mathbf{u}_y   \Rightarrow   \left|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_2\right| = \sqrt{16^2+12^2}=20
De q4 a q3
\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_3 = -7\mathbf{u}_x-24\mathbf{u}_y   \Rightarrow   \left|\mathbf{r}_4-\mathbf{r}_3\right| = \sqrt{7^2+24^2}=25

Por tanto, la fuerza sobre q4 es, midiendo las cargas en nanoculombios y las distancias en milímetros,

\mathbf{F}_4=\frac{q_4}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{108(9\mathbf{u}_x-12\mathbf{u}_y)}{15^3}+\frac{q_2(-16\mathbf{u}_x-12\mathbf{u}_y)}{20^3}+\frac{q_3(-7\mathbf{u}_x-24\mathbf{u}_y)}{25^3}\right)

Para que esta fuerza sea nula debe serlo cada una de sus componentes, lo que nos da las ecuaciones

0=\frac{36}{25}-\frac{q_2}{500}-\frac{7q_3}{15625}        0=-\frac{48}{125}-\frac{3q_2}{2000}-\frac{24q_3}{15625}

cuya solución es

q_2= 256\,\mathrm{nC}        q_3=-500\,\mathrm{nC}

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