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Cortezas esféricas con gas ionizado, F2 GIA (Jun, 2014)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos esferas conductoras huecas concéntricas tienen espesores δ despreciables frente a los valores de sus radios, a y 2a, medidos en centímetros. Inicialmente, ambas cáscaras esféricas se encuentran vacías y descargadas, con la de mayor radio siempre conectada “a tierra”, de manera que el potencial electrostático en dicho conductor es siempre nulo. En el interior vacío de la esfera más pequeña se introduce un gas ionizado (plasma) donde existe una concentración de n0 iones por centímetro cúbico, todos ellos con carga + e. Dicha concentración es lo suficientemente baja como para poder considerar que las cargas se distribuyen uniformemente en el volumen.
  1. Determine las densidades de carga eléctrica libre presentes en el sistema, en función de los parámetros indicados en el enunciado.
  2. Expresión del campo eléctrico en todo el espacio. Justifique su respuesta.
  3. Diferencia de potencial entre las dos cáscaras esféricas y valor del potencial en el centro O del sistema.
  4. ¿Qué trabajo ha sido necesario realizar para configurar el sistema descrito?

2 Solución

Conviene comenzar estableciendo un sistema de referencia y de coordenadas que nos permitan describir analíticamente la geometría del sistema, así como las propiedades de los campos escalares y vectoriales asociados a las magnitudes físicas utilizadas. Como el sistema bajo estudio presente simetría esférico con centro en el punto O, tomamos aquí el origen del sistema de referencia y utilizamos las coordenadas esféricas. Así, la distancia desde el punto de referencia O hasta un punto P arbitrario, está representada por la variable r, que se define como el módulo del vector posición:

\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\; r=|\mathbf{r}|=|\overrightarrow{OP}|

De esta forma, las superficies interior y exterior de las dos cortezas conductoras, C1 y C2, quedan descritas por las ecuaciones implícitas:

\partial{\mathrm{C}_1}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\Sigma_1^\mathrm{int}:\!\ r=a-\frac{\delta}{2}=r_1^\mathrm{int}\\ \\ \displaystyle\Sigma_1^\mathrm{ext}:\!\ r=a+\frac{\delta}{2}=r_1^\mathrm{ext}\end{array}\right.\qquad\qquad \partial{\mathrm{C}_2}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\Sigma_2^\mathrm{int}:\!\ r=2a-\frac{\delta}{2}=r_2^\mathrm{int}\\ \\ \displaystyle\Sigma_2^\mathrm{ext}:\!\ r=2a+\frac{\delta}{2}=r_2^\mathrm{ext}\end{array}\right.

Valores de la variable r mayores o menores que los anteriores radios, describen las distintas regiones vacías existentes dentro, entre y fuera de las cortezas conductoras.

2.1 Distribuciones de carga eléctrica libre

2.1.1 En el hueco interior de la corteza de menor radio

En esta región, que denominaremos τ0 y que está descrita analíticamente por la desigualdad

\tau_0:\!\ r<r_1^\mathrm{int}\!\ \mathrm{,}

se rellena con un gas ionizado en una concentración de n0 partículas cargadas por unidad de volumen medida en cm3. Si cada partícula tiene una carga + e, y el radio de la esfera es de a centímetros, la cantidad total de carga en dicha región es:

Q\big\rfloor_{\tau_0}=+e\!\ n_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi\!\ \left(a-\frac{\delta}{2}\right)^3\approx +e\!\ n_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi\!\ a^3=q_0

donde hemos aplicado que el espesor de la corteza es despreciable al tener un valor mucho menor que el radio a. En el enunciado se informa de que puede considerarse una distribución uniforme para las partículas del gas al estar en condiciones de baja presión. En consecuencia, las cargas eléctricas también estarán uniformemente distribuidas y descritas, por tanto, por una densidad de volumétrica constante:

\rho_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\tau_1}=\frac{q_0}{(4/3)\pi a^3}=+e\!\ n_0=\rho_0

2.1.2 En la corteza conductora interior

La corteza esférica conductora C1, de radio medio a se encuentra inicialmente descargada. Además, está aislada:no está conectada a ningún otro conductor y no puede aceptar los iones del gas distribuido en su interior hueco. En consecuencia, su carga total debe ser cero en todo momento, lo cual no impide que en cada una de sus caras, interior \Sigma_1^\mathrm{int}, y exterior \Sigma_1^\mathrm{ext}, puedan existir cantidades netas de carga, Q_1^- y Q_1^+, respectivamente:

Q\big\rfloor_{\mathrm{C}_1}=Q\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{int}}+Q\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{ext}}=Q_1^-+Q_1^+=0

Por su parte, la región comprendida entre ambas caras es una la región conductora C1, en la cuál la densidad volumétrica de carga eléctrica y el campo eléctrico son ambos nulos cuando el sistema se encuentra en equilibrio electrostático:

\mathrm{C}_1: r_1^\mathrm{int}<r<r_1^\mathrm{ext}\quad \Longrightarrow\,\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \rho_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\mathrm{C}_1}=0\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\mathrm{C}_1}=\mathbf{0}\end{array}\right.

Por tanto, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica \partial\tau_1 de radio r1 tal que r_1^\mathrm{int}<r_1<r_1^\mathrm{ext}\mathrm{,} (es decir, tal que todos sus puntos se encuentra en la región conductora C1) va a ser nulo por serlo dicho campo. Pero según la ley de Gauss, dicho flujo es proporcional a la cantidad total de carga contenida dentro de \partial\tau_1. En este caso, dicha carga sería la que se encuentra en el hueco de la corteza C1 (la q0 del gas ionizado), más la que pudiera haber en la superficie interior \Sigma_1^\mathrm{int} de dicha corteza:

0=\oint_{\partial\tau_1}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\tau_1}=\frac{q_0+Q_1^-}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad Q\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{int}}=Q_1^-=-q_0\approx -e\!\ n_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi a^3
Es decir, como consecuencia de introducir el gas ionizado en el hueco, en la cara interior de la corteza conductora C1 se ha inducido una cantidad neta de carga eléctrica negativa, opuesta a la que hay en el hueco. Y como el gas y su carga están distribuidos uniformemente, y dada la simetría esférica del sistema, también podemos concluir que la carga Q_1^- se distribuye de manera uniformemente en la superficie interior de la corteza C1; por tanto, la densidad superficial de carga en \Sigma_1^\mathrm{int} será:
\sigma_e(\mathrm{r})\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{int}}\approx \frac{Q_1^-}{4\!\ \pi \!\ a^2}=-\frac{e\!\ n_0\!\ a}{3}=\sigma_1^-

donde se ha aproximado el radio de dicha superficie por el radio promedio a de la corteza.

Aplicando ahora que la corteza C1 debe permanecer descargada, podemos obtener la carga y densidad de carga en la cara exterior \Sigma_1^\mathrm{ext} de dicho conductor:

Q_1^+=Q\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{ext}}=-Q\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{int}}=q_0
       \Rightarrow       \sigma_e(\mathrm{r})\big\rfloor_{\Sigma_1^\mathrm{ext}}\approx \frac{Q_1^+}{4\!\ \pi \!\ a^2}\approx+\frac{e\!\ n_0\!\ a}{3}=\sigma_1^+

2.1.3 En la corteza conductora exterior

En primer lugar ha de tenerse en cuenta que la esfera C2 está conectada a tierra. Por tanto, aunque incicialmente estaba descargada, esta situación puede cambiar al introducir carga en el sistema. Por otra parte, la conexión a tierra nos asegura que el potencial electrostático en todos los puntos de dicha corteza tenga valor cero. En consecuencia, no puede haber líneas de campo eléctrico que partiendo de la superficie exterior \Sigma_2^\mathrm{ext} terminen en el infinito; es decir, tanto en la region conductora C2, como en el exterior vacío \displaystyle\tau_\mathrm{ext}, el campo eléctrico es nulo, al igual que la densidad volumétrica de carga:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle
\mathrm{C}_2: r_2^\mathrm{int}<r<r_2^\mathrm{ext}\\ \\
\displaystyle\tau_\mathrm{ext}: \!\ r>r_2^\mathrm{ext}\end{array}\right\}
\quad \Longrightarrow\,\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \rho_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\mathrm{C}_2,\tau_\mathrm{ext}}=0\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\mathrm{C}_2,\tau_\mathrm{ext}}=\mathbf{0}\end{array}\right.

La existencia de carga eléctrica distribuida en la superficie \Sigma_2^\mathrm{ext} que separa las regiones C2 y \displaystyle\tau_\mathrm{ext} estaría ligada a la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico. Como a ambos lados de dicha superficie el campo es nulo, no existe tal discontinuidad y, por tanto, tampoco carga eléctrica distribuida en \Sigma_2^\mathrm{ext}:

\sigma_e(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}=\varepsilon_0\!\ \mathbf{u}_r\cdot\bigg[\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}^+-\mathbf{E}(\mathbf{r})\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}^-\bigg]=0       \Rightarrow       Q\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}=Q_2^+=0

Sin embargo, en la cara interior del conductor C2 sí va a exisitir cierta cantidad de carga que puede determinarse aplicando de nuevo la ley de Gauss. De manera análoga al procedimiento seguido en el apartado 2.1.2, tomamos una superficie gaussiana esférica \partial\tau_2, con centro en O y radio r2 tal que r_2^\mathrm{int}<r_2<r_1^\mathrm{ext}\mathrm{,}, de manera que todos sus puntos se encuentra en la región conductora C2). En consecuencia, el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie \partial\tau_2 va a ser nulo, por serlo el campo eléctrico en todos sus puntos. La ley de Gauss determina entonces que no puede haber carga eléctrica neta dentro del volumen τ2 delimitado por aquella superficie debe ser cero; es decir, la suma de las cargas distribuidas en el interior hueco de la corteza interior, en las superficies de ésta, y en la cara interior de la corteza de mayor radio, debe ser cero. Como se recordará, el conductor C1 (corteza esférica de menor radio) se encuentra descargado y aislado, por lo que, aunque sus superficies interior y exterior sí tienen carga neta, la carga total en dicho conductor es nula:

0=\oint_{\partial\tau_2}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\tau_2}=\frac{q_0+Q\big\rfloor_{\mathrm{C}_1}+Q_2^-}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad Q\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{int}}=Q_2^-=-q_0-\ \underbrace{Q\big\rfloor_{\mathrm{C}_1}}_{=0}\approx -e\!\ n_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi a^3
Archivo:p1_jun_14_3.gif

Obsérvese que aunque la corteza esférica de radio mayor (conductor C2) está conectada a tierra y, por tanto, se encuentra a potencial cero, tiene una cantidad de carga no nula distribuida toda ella en la superficie interior \Sigma_2^\mathrm{int}. Además, dada la geometría esférica del sistema, podemos asumir que aquella carga se distribuye uniformemente en dicha superficie:

Q\big\rfloor_{\mathrm{C}_2}=Q\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{int}}+\!\ \underbrace{Q\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}}_{=0}=Q_2^-\approx -e\!\ n_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi a^3       \Rightarrow       

\sigma_e(\mathrm{r})\big\rfloor_{\Sigma_2^\mathrm{ext}}\approx \frac{Q_2^-}{4\!\ \pi \!\ (2a)^2}\approx-\frac{e\!\ n_0\!\ a}{12}=\sigma_2^-

donde se ha utilizado la aproximación 2a-(\delta/2)\approx 2a.

2.2 Expresión del campo eléctrico

Como se indicó en el anterior apartado, el campo eléctrico es nulo en las cortezas conductoras cuando el sistema se halla en equilibrio electróstático. También va a ser nulo en la región exterior a la corteza C2 cuando ésta se halla conectada a tierra, ya que va a estar a mismo valor de potencial que el infinito. Queda por determinar la expresión del campo eléctrico en el interior de la corteza C1, rellena del gas ionizado, y en la región vacía comprendida entre la cara exterior de dicha corteza y la interior de la C2. Para ello, tendremos en cuenta que la geometría del sistema presenta simetría esférica y que las cargas en el mismo se distribuyen uniformemente. De esta forma, podemos asegurar que el campo eléctrico va presentar simetría radial; es decir, en cualquier punto P de dichas regiones se tendrá

\mathbf{E}(P)=E(r)\!\ \mathbf{u}_r(P)\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r(P)

Para obtener la función E(r) podemos aplicar al ley de Gauss en una superficie esférica \partial\tau de radio arbitrario r, con centro en el punto O: el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie es proporcional a la cantidad neta de carga eléctrica contenida en el volumen τ delimitado por aquélla. Nótese que esta cantidad de carga va a depender del valor de r:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle \oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_\tau=\frac{Q(r)}{\varepsilon_0}\\ \\ \mathrm{d}\mathbf{S}\big\rfloor_{P\in\partial\tau}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{u}_r (P)\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=E(r)\!\ \oint_{\partial\tau}\!\mathrm{d}S=4\!\ \pi\!\ r^2\!\ E(r)=\frac{Q(r)}{\varepsilon_0}

Si el radio de \partial\tau es menor que r_1^\mathrm{int}, la carga encerrada dentro de dicha superficie gaussiana será la de la porción de gas ioinizado contenido. Si el valor del radio de \partial\tau está comprendido entre los de las cortezas C1 y C2, la cantidad de carga encerrada será igual a carga total del gas, q0, ya que la cantidad neta de carga en C1 es nula al tratarse de un conductor aislado y descargado. En caso de que \partial\tau contenga a todo el sistema, la carga total encerrada por dicha superficie es nula, ya que la corteza C2 tiene una carga neta cuyo valor es el opuesto a la carga del gas ionizado; se tendrá, por tanto:

Q(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{4\!\ e\!\ n_0}{3}\!\ \pi\!\ r^3\mathrm{;}&\displaystyle 0\le r < a-\frac{\delta}{2}\\ & \\ \displaystyle q_0\approx\frac{4\!\ e\!\ n_0}{3}\!\ \pi\!\ a^3\mathrm{;}&\displaystyle a+\frac{\delta}{2} < r < 2a-\frac{\delta}{2}\\ &\\ 0\mathrm{;}& \mbox{en otro caso}   \end{cases}
Obsérvese que para los casos en que el radio r de la superficie gaussiana \partial\tau es

r_1^\mathrm{int}<r<r_1^\mathrm{ext} ó r_2^\mathrm{int}<r, la carga neta de carga eléctrica contenida dentro de \partial\tau es cero ya que, en ambos casos, los puntos de dicha superficie estarían en regiones donde el campo eléctrico es nulo, bien por ser región conductora o por encontrarse en el exterior de la corteza conectada “a tierra”. Sustituyendo la expresión general de la carga en la obtenida a partir de la ley de Gauss, se obtiene la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio:

E(r)=\frac{Q(r)}{4\!\ \pi\!\ \varepsilon_0\!\ r^2}       \Rightarrow       \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\!\ \mathbf{u}_r=\begin{cases}\displaystyle \frac{e\!\ n_0}{3\!\ \varepsilon_0}\ \mathbf{r}\mathrm{;}&\displaystyle 0\le |\mathbf{r}| < a-\frac{\delta}{2}\\ & \\ \displaystyle \frac{e\!\ n_0\!\ a^3}{3\!\ \varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&\displaystyle a+\frac{\delta}{2} < |\mathbf{r}| < 2a-\frac{\delta}{2}\\ & \\ \mathbf{0}\mathbf{;}& \mbox{en otro caso} \end{cases}

2.3 Potencial electrostático

2.3.1 Diferencia de potencial entre las cortezas conductoras

Las cortezas C1 y C2 son conductores en equilibrio electrostático y, por tanto, regiones equipotenciales cada una de ellas; en consecuencia, la diferencia de potencial entre ambos conductores es igual a la circulación (por cualquier camino) del campo eléctrico entre sendos puntos cualesquiera de cada uno de los conductores:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle\forall\,P_1\in\mathrm{C}_1\mathrm{,}\;\;V(P_1)=V_1\\ \\ \displaystyle\forall\,P_2\in\mathrm{C}_2\mathrm{,}\;\;V(P_2)=V_2\end{array}\right\}\;\;\;\Longrightarrow\quad V_1-V_2=\int_{P_1}^{P_2}\!\!\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

Como ya hemos indicado, el resultado que se obtiene es independiente del camino seguido. Optemos, por tanto, por una trayectoria Γ con todos sus puntos contenidos en el espacio vacío situado entre las dos cortezas y que tiene principio y fin sendos puntos A y B de dichos conductores:

\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\big\rfloor_\Gamma=\frac{e\!\ n_0\!\ a^3}{3\!\ \varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}=\frac{e\!\ n_0\!\ a^3}{3\!\ \varepsilon_0}\ \frac{\mathrm{d}r}{r^2}

donde se ha aplicado un resultado la siguiente propiedad del vector posición y su diferencial, cuando están expresados en coordenadas esféricas:

\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=|\mathbf{r}|\!\ \mathbf{u}_r(P)=r\!\ \mathbf{u}_r(P)\\ \\ \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\!\ \mathbf{u}_r(P)+r\!\ \mathrm{d}\mathbf{u}_r\big\rfloor_P\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=r\!\ \mathrm{d}r

ya que al ser \mathbf{u}_r(P) un vector de módulo constante (siempre igual a la unidad), en todo punto se cumplirá que \mathrm{d}\mathbf{u}_r\big\rfloor_P \perp\!\ \mathbf{u}_r(P). Prosiguiendo con el cálculo, obtenemos que la diferencia de potencial entre las dos cortezas esféricas conductoras es:

V_1-V_2=\int_{A(\Gamma)}^{B}\!\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{e\!\ n_0\!\ a^3}{3\!\ \varepsilon_0}\!\ \int_{r_1^\mathrm{ext}}^{r_2^\mathrm{int}}\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\approx\frac{e\!\ n_0\!\ a^2}{6\!\ \varepsilon_0}

Y puesto que la corteza de mayor radio, C2, está conectada a tierra y, por tanto, el valor del potencial electrostático en todos sus puntos es cero, el resultado anterior determina también el valor del potencial en todos los puntos de la corteza interior C1:

\forall\,P_2\in\mathrm{C}_2\mathrm{,}\;\;V(P_2)=V_2=0\quad\Longrightarrow\quad\forall\,P_1\in\mathrm{C}_1\mathrm{,}\;\;V(P_1)=V_1\approx\frac{e\!\ n_0\!\ a^2}{6\!\ \varepsilon_0}

2.3.2 Potencial en el centro de la distribución

Para determinar el valor del potencial electrostático en el centro O, podemos seguir el mismo procedimiento del subapartado anterior: la circulación del campo eléctrico, a lo largo de cualquier trayectoria, desde el punto O hasta cualquier punto de la corteza C1, es igual a la diferencia de potencial entre dichos puntos. Tomando un punto C en la superficie interior \Sigma_1^\mathrm{int} del conductor C1, y una trayectoria Λ con todos sus puntos en su interior huecom se tendrá...

\left.\begin{array}{l}\displaystyle
V(O)-V(C)=\int_{O(\Lambda)}^{C}\!\!\mathbf{E}(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\big\rfloor_\Lambda=\frac{e\!\ n_0}{3\!\ \varepsilon_0}\!\  \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{e\!\ n_0}{3\!\ \varepsilon_0}\!\ r\!\  \mathrm{d}r\end{array}\right\}       \Rightarrow       V(O)=V_1+\frac{e\!\ n_0}{3\!\ \varepsilon_0}\!\ \int_0^{r_1^\mathrm{int}}\!\! r\!\ \mathrm{d}r\approx\frac{e\!\ n_0\!\ a^2}{3\!\ \varepsilon_0}

2.4 Trabajo realizado

Inicialmente el sistema se encuentra descargado y con la corteza C2 conectada a tierra, de manera que a dicho estado le podemos asignar un valor de energía electrostática U_e^\mathrm{ini}=0. Tras inyectar el gas ionizado en el interior de la corteza C1, el sistema adquiere una cantidad neta de carga eléctrica y, por tanto, una valor de energía electrostática no nulo, U_e^\mathrm{fin}. El trabajo W puesto en juego para cargar el sistema será igual a la diferencia entre ambos valores de energía electrostático; es decir:

W=U_e^\mathrm{fin}-\underbrace{U_e^\mathrm{ini}}_{=0}=U_e^\mathrm{fin}

Como se sabe, si el valor de W es positivo, se tratará del trabajo realizado por un agente externo para cargar el sistema. Por el contrario, si es un valor negativo, el trabajo para cargar el sistema habrá sido realizado por el campo eléctrico.

Por otra parte, en un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes \mathcal{F}\mathrm{,} la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V\!\ \mathrm{d}q

donde V(r) es el potencial electrostático creado por la distribución, y donde \mathcal{F} será el conjunto de regiones del espacio donde existe carga eléctrica. En el sistema bajo estudio, una vez cargado, dicha región de fuentes está constituida por las superficies interior y exterior de las cortezas conductoras, \partial\mathrm{C}_1 y \partial\mathrm{C}_2, así como por el interior hueco τ0 de la corteza esférica de menor radio, cuanto se encuentra rellena de gas ionizado:

U_e=\frac{1}{2}\int_{\partial\mathrm{C}_1}\! V(\mathbf{r^\prime})\!\ \sigma_e(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}S^\prime\ +\frac{1}{2}\int_{\partial\mathrm{C}_2}\! V(\mathbf{r^\prime})\!\ \sigma_e(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}S^\prime\ +\frac{1}{2}\int_{\tau_0}\! V(\mathbf{r^\prime})\!\ \rho_e(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}\tau^\prime

Cada una de las superficies conductoras es una superficie equipotencial en la que el potencial electrostático tiene idéntico valor en todos sus puntos. Minetras, en el hueco con gas ionizado distribuido uniformemente, la densidad volumétrica de carga tiene un valor constante ρ0:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r^\prime})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}_1}=V_1\\ \\
\displaystyle V(\mathbf{r^\prime})\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}_2}=V_2\\ \\
\displaystyle \rho_e(\mathbf{r^\prime})\big\rfloor_{\tau_0}=\rho_0=e\!\ n_0\end{array}
\right\}\;\;\Longrightarrow\quad U_e^\mathrm{fin}=\frac{1}{2}\left(V_1\underbrace{\int_{\partial\mathrm{C}_1}\! \sigma_e(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}S}_{=Q_1}\ +V_2\underbrace{\int_{\partial\mathrm{C}_2}\! \sigma_e(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}S}_{=Q_2}\ +\rho_0\int_{\tau_0}\! V(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}\tau^\prime\right)=\frac{e\!\ n_0}{2}\int_{\tau_0}\! V(\mathbf{r^\prime})\mathrm{d}\tau^\prime

ya que Q1 y Q2 son las respectivas cantidades totales de carga en las cortezas C1 y C2; y si se tiene en cuenta que la corteza C1 está descargada y aislada (Q1 = 0), y la C2 conectada a tierra (V2 = 0), los dos primeros términos de la anterior expresión son nulos. En consecuencia, es necesario determinar la expresión V(\mathbf{r}) para dicho campo escalar en aquella región. Sea P^\prime un punto arbitrario del interior hueco de la corteza C1; se tendrá:

V(O)-V(P^\prime)=\int_O^{P^\prime}\!\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

siendo \mathbf{E}(\mathbf{r}) la región del campo eléctrico en τ0. Utilizando la expresión de dicho vector, y teniendo en cuenta que , se obtiene:

\overrightarrow{OP}^\prime=\mathbf{r^\prime}=r^\prime\!\ \mathbf{u}(P^\prime)\quad\Longrightarrow\quad V(\mathbf{r}^\prime)=V(P^\prime)=V(O)-\frac{e\!\ n_0}{3\!\ \varepsilon_0}\int_0^{r^\prime}\! r\!\ \mathrm{d}r\approx\frac{e\!\ n_0\!\ a^2}{3\!\ \varepsilon_0}\ \left(1-\frac{r^\prime{}^2}{2\!\ a^2}\right)=V(r^\prime)

Obsérvese que el valor del potencial en un punto P^\prime del hueco τ0 sólo depende de la distancia r^\prime=|\mathbf{r^\prime}| entre dicho punto y el centro O. Es decir, las superficies esféricas con centro en O son equipotenciales. Por tanto, en todos los puntos de una corteza esférica \partial\tau^\prime, de radio r^\prime y espesor infinitesimal dr', el potencial tendrá idéntico valor V(r^\prime); entonces...

V(\mathbf{r^\prime})\!\ \mathrm{d}\tau^\prime\big\rfloor_{\partial\tau^\prime}=V(r^\prime)\!\ 4\pi\!\ r^\prime{}^2\!\ \mathrm{d}r^\prime       \Rightarrow       W=U_e^\mathrm{fin}=\frac{2\pi\!\ e\!\ n_0}{\varepsilon_0}\ \int_0^{r_1^\mathrm{int}}\!\! r^\prime{}^2\!\ V(r^\prime)\!\ \mathrm{d}r^\prime
\approx\frac{7\!\ \pi\!\ a^5}{45\!\ \varepsilon_0}\!\ \big(e\!\ n_0\big)^2

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