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Corteza esférica conductora con hueco relleno de gas, F2 GIA (Abr, 2013)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene una esfera metálica (conductor perfecto) de radio 2R, que tiene en su interior un hueco concéntrico de radio R. La corteza de material conductor comprendida entre las superficies interior (Σint) y exterior (Σext), de radio R y 2R, respectivamente, está perfectamente aislada y cargada eléctricamente con una cantidad fija Q0 de carga libre. El hueco está relleno de un gas cargado eléctricamente con una cantidad de carga Q0, que se considera uniformemente distribuida en todo el volumen del hueco. Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio electrostático...
  1. ¿Cómo se distribuye la carga Q0 en la corteza conductora?
  2. Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio.

2 Solución

2.1 Distribución de la carga en la corteza

Cuando el sistema se halla en equilibrio electrostático no puede haber carga eléctrica neta en el interior de la corteza conductora. Por tanto, toda la carga Q0 debe estar distribuida en sus superficies Σext y Σint:

Q|_\mathrm{cond}=Q|_{\Sigma_\mathrm{int}}+Q|_{\Sigma_\mathrm{ext}}=Q_0

Además, el campo eléctrico en el interior de la región conductora debe ser nulo en todos los puntos. Apliquemos pues la ley de Gauss tomando una superficie cerrada \partial\tau, tal que todos sus puntos están dentro de dicha región conductora. Como el campo en dichos puntos es nulo, el flujo a través de la superficie \partial\tau va a ser cero, al igual que la cantidad neta de carga eléctrica contenida en su interior τ. Por otra parte, dentro de dicho volumen hay dos distribuciones de carga: la del gas encerrado en el hueco, y la carga distribuida en la superficie interior de la corteza condcutora:

0=\oint_{\partial\tau_0\subset\mathrm{cond}}\!\!\!\!\overbrace{\mathbf{E}}^{=\mathbf{0}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg \rfloor_{\tau_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\!\ \big[Q|_\mathrm{hueco}+Q|_{\Sigma_\mathrm{int}}\big]       \Rightarrow       Q|_{\Sigma_\mathrm{int}}=-Q|_\mathrm{hueco}=-Q_0

El valor de la cantidad de carga distribuida en la superficie exterior de la corteza se obtiene de forma inmediata:

Q|_{\Sigma_\mathrm{ext}}=Q_0-Q|_{\Sigma_\mathrm{int}}=2Q_0

2.1.1 Densidades de carga en las superficies de la corteza

Una vez determina la cantidad de carga localizada en cada una de las superficies de la corteza conductora, podemos determinar también las correspondientes densidades superficiales que describen cómo se distribuyen dichas cargas.

Si se considera que no existen otras cargas exteriores, próximas al sistema bajo estudio, la carga eléctrica se distribuirá uniformemente en la superficie conductora Σext, correspondiéndole una densidad superficial constante. Si la posición de un punto arbitrario P, respecto del centro de simetría del sistema, O, es descrita mediante el radiovector \overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r(P), se tendrá:

\sigma_e|_{\Sigma_\mathrm{ext}}=\sigma_e(r=2R)=\frac{2Q_0}{4\pi (2R)^2}=\frac{Q_0}{8\pi R^2}

La densidad de superficial de carga en Σint está determinada por la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico en dicha superficie. Dicha discontinuidad se produce porque el campo eléctrico es nulo dentro de la región conductora, mientras que en el hueco de radio R, donde existe una cantidad de carga libre Q0 distribuida uniformemente según una densidad volumétrica de carga constante, habrá un campo radial con centro en O:

\rho_e|_{\mathrm{hueco}}=\rho_e(r<R)=\frac{3\!\ Q_0}{4\pi R^3}=\rho_0\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\qquad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(|\mathbf{r}|<R)=E(r)\!\ \mathbf{u}_r

Por tanto, la condición de salto en la superficie interior de la corteza, Σint:r = R, determina que la densidad superficial de carga en dicha superficie conductora también debe ser constante:

\frac{\sigma_e}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\Sigma_\mathrm{int}}=\mathbf{n}\cdot\big[\overbrace{\mathbf{E}(r=R^+)}^{=\mathbf{0}}-\mathbf{E}(r=R^-)\big]=-E(r=R^-)\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}       \Rightarrow       \sigma_e|_{\Sigma_\mathrm{int}}=\sigma_e(r=R)=-\frac{Q_0}{4\pi R^2}

donde se ha tenido en cuenta que el vector unitario \mathbf{n}, normal a la superficie esférica Σ | int, coincide en cada punto con el correspondiente unitario radial \mathbf{u}_r.

2.2 Expresión del campo eléctrico

Las tres distribuciones de carga eléctrica existentes en el sistema son constantes y están localizadas en sendas regiones con simetría esférica y concéntricas en el punto O; a saber, el hueco esférico prácticado en la esféra conductora y las correspondientes superficies interior y exterior de la corteza conductora resultante. Cada una de estas distribuciones crea un campo eléctrico de simétría radial con centro en O, por lo que el campo total en todo el espacio, obtenido al aplicar el principio de superposición, también será de la forma:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\!\ \mathbf{u}_r       \Rightarrow       \oint_{\partial\tau:r,\mathrm{cte}}\!\!\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2\!\ E(r)=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_\tau

Es decir, la expresión de la componente radial E(r) del campo eléctrico en las diferentes regiones del espacio podemos obtenerla fácilmente aplicando el teorema de Gauss en superficies gaussianas esféricas \partial\tau:r\mathrm{,}\,\mathrm{cte}\,, con centro en O. La expresión del flujo del campo eléctrico radial a través de dichas superficies es siempre la misma. Lo que cambia, dependiendo del radio de la superficie, es la cantidad total de carga eléctrica contenida en el volumen τ encerrado:

Q|_\tau=\begin{cases}\displaystyle \rho_0\!\ \frac{4}{3}\!\ \pi r^3= Q_0\!\ \frac{r^3}{R^3}\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;0\leq r<R\\ \\
\displaystyle Q|_\mathrm{hueco}+Q|_\mathrm{\Sigma_\mathrm{int}}=0\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;R<r<2R\\ \\
\displaystyle Q|_\mathrm{hueco}+Q|_\mathrm{\Sigma_\mathrm{int}}+Q|_\mathrm{\Sigma_\mathrm{ext}}=2Q_0\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;2R<r
\end{cases}       \Rightarrow       E(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ R^3}\ r\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;0\leq r<R\\ \\
\displaystyle 0\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;R<r<2R\\ \\
\displaystyle \frac{2\!\ Q_0}{4\pi\varepsilon_0\!\ r^2}\mathrm{;}\quad \mathrm{si}\;\;2R<r
\end{cases}
Archivo:cortez_conduc_f2_pc1_12_13_3.gif

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