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Corteza esférica conductora con distribución concéntrica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una corteza conductora esférica cuyos radios interior y exterior valen 3a y 6a respectivamente, es concéntrica con una esfera de radio 2a cargada uniformemente en volumen con una densidad de carga ρ0.
  1. Para el caso de que la corteza esté aislada y descargada, obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio, así como las densidades de carga en la corteza conductora.
  2. Si el conductor se conecta a tierra, ¿cuál es la nueva expresión del campo en todo el espacio? ¿Cuál es ahora la distribución de carga en el conductor?
  3. ¿Qué cambio experimenta la energía electrostática del sistema al pasar de la situación del apartado (a) a la del apartado (b)?

2 Solución

2.1 Corteza conductora aislada y descargada

Si la corteza conductora se encuentra en equilibrio eléctrostático, no puede presentar densidades volumétricas de carga eléctrica. Sólo puede haber distribuciones netas de carga en las superficies que la delimitan:

\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}: r=3a\mathrm{;}\qquad \qquad\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}: r=6a

donde éstas están descritas en coordenadas esféricas, tomando el centro de simetría del sistema (punto O) como origen del sistema de referencia. Por otra parte, como el conductor está aislado y descargado, su cantidad total de carga debe ser nula. Si llamamos Q_\mathrm{C}^\mathrm{int} y Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext} a las cantidades de carga distribuidas en las caras interior y exterior de la corteza conductora, se tendrá:

Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}+Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=0

2.1.1 Distribuciones de carga eléctrica en el sistema

En consecuencia, la única distribución volumétrica presente en el sistema es la densidad uniforme ρ0 que hay en r < 2a:
\rho_e(\mathbf{r})=\begin{cases} \rho_0\mathrm{;}& r<2a\\ \\ 0&r>2a
\end{cases}

La cantidad total de carga de esta distribución es:

Q_0=\int_{r<2a}\!\! \rho_0 \mathrm{d}\tau\quad\longrightarrow \quad Q_0=\frac{4}{3}\pi\rho_0\left(2a\right)^3=\frac{32}{3}\ \pi\rho_0\ a^3

Esta carga en el hueco r < 3a, induce una cantidad de carga opuesta Q0 en la cara interior de la corteza conductora para que se verifique la condición necesaria de campo eléctrico nulo en el conductor. Como la carga Q0 está distribuida uniformemente y produce un campo eléctrico radial, la carga en la superficie \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}: r=3a se distribuirá también uniformemente. Teniendo en cuenta que el conductor se encuentra aislado y descargado, se tendrá:

Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}+Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=0\quad \Longrightarrow\quad Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=-Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=Q_0

También la carga Q0 se distribuirá uniformemente en la superficie exterior de la corteza \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}, ya que ésta tiene simetría esférica y no hay otras cargas exteriores que pudiesen alterar dicha distribución. Por tanto, se tendrá que la distribución de cargas superficiales en el sistema es:

\sigma_e(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}=-\frac{Q_0}{4\pi\left(3a\right)^2}=-\frac{8}{27}\ \rho_0\ a\mathrm{;}& r=3a\\ \\ \displaystyle\sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=\frac{Q_0}{4\pi\left(6a\right)^2}=+\frac{2}{27}\ \rho_0\ a\mathrm{;}&r=6a
\end{cases}

2.1.2 Campo eléctrico en el sistema

Para determinar la distribución del campo eléctrico aplicaremos la ley de Gauss:

\oint_{\partial\tau}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\ Q|_\tau

donde Q | τ es la cantidad total de carga que hay dentro de la superficie \partial\tau. Como las distribuciones de carga estática determinadas anteriormente presentan todas simetría esférica, el campo eléctrico que producen es radial. Evaluando la ley de Gauss en una superficie esférica \partial\tau de radio r arbitrario y centrada en el punto O, se tendrá:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\mathbf{u}_r    \Rightarrow    \oint_{\partial\tau:\ r\,\mathrm{cte.}\,}\!\!\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2 E(r)

La cantidad de carga dentro de \partial\tau depende del radio de ésta:

Q|_\tau=Q(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{4}{3}\pi\rho_0r^3\mathrm{;}& 0<r<2a\\ Q_0\,\mathrm{;}& 2a<r<3a\\ Q_0+Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=0\mathrm{;}& 3a<r<6a\\
Q_0+Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}+Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=Q_0\mathrm{;}& 6a<r\end{cases}

Y aplicando ahora la ley de Gauss se obtiene la expresión del campo eléctrico en todo el espacio:

\mathbf{E} (\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\ \mathrm{;}& 0<r<2a\\ \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{r^3}=\frac{8\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \left(\frac{a}{r}\right)^3 \mathbf{r}\ \mathrm{;}& 2a<r<3a\\ \\ \mathbf{0}\mathrm{;}& 3a<r<6a\\ \\
\displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{r^3}=\frac{8\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \left(\frac{a}{r}\right)^3 \mathbf{r}\ \mathrm{;}& 6a<r\end{cases}

2.2 Corteza conductora conectada a tierra

En esta situación, toda la corteza conductora estará a potencial nulo. En particular, las superficies \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int} y \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext} son equipotenciales de valor 0. Como en la región exterior r > 6 no hay más cargas, no puede haber tampoco líneas de campo entre la superficie exterior de la corteza y el infinito. Es decir, el campo eléctrico debe ser nulo para r > 3a.

2.2.1 Distribuciones de carga eléctrica en el sistema

La conexión de la corteza a tierra no afecta a la distribución volumétrica de carga que hay en el hueco de aquélla ni, obviamente, a su cantidad total de carga eléctrica, Q0. Consecuentemente, en la cara interior del hueco, \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}, seguirá habiendo la misma carga inducida que en el caso anterior, y también uniformemente distribuida:
Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=-Q_0

Obsérvese que la cantidad de carga y su distribución en la superficie exterior no está determinada porque la carga total sea nula, ya que ahora el conductor no está aislado, pues está conectado a tierra. Para obtener la distribución en la superficie \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext} debemos exigir la verificiación de la condición de discontinuidad:

\sigma_e(r=6a)=\varepsilon_0 \left[\mathbf{E}(r=6a^+)-\mathbf{E}(r=6a^-)\right]\cdot\mathbf{n}=0    \Rightarrow    Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=0

pues, como se discutió anteriormente, el campo eléctrico es nulo a ambos lados de la cara exterior de la corteza conductora.

Así, las distribuciones de carga eléctrica en el sistema cuando el conductor esta conectado a tierra son:

\rho_e(\mathbf{r})=\begin{cases} \rho_0\mathrm{;}& r<2a\\ \\ 0&r>2a
\end{cases}        \sigma_e(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}=-\frac{Q_0}{4\pi\left(3a\right)^2}=-\frac{8}{27}\ \rho_0\ a\mathrm{;}& r=3a\\ \\ 0\mathrm{;}&r=6a
\end{cases}

2.2.2 Campo eléctrico en el sistema

Aplicamos de nuevo la ley de Gauss para calcular la distribución del campo eléctrico, teniendo en cuenta que el campo es radial:

\oint_{\partial\tau}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2 E(r)=\frac{Q(r)}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\ Q|_\tau

y que la cantidad de carga encerrada en la superficie gaussiana \partial\tau depende del radio de ésta:

Q|_\tau=Q(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{4}{3}\pi\rho_0r^3\mathrm{;}& 0<r<2a\\ Q_0\,\mathrm{;}& 2a<r<3a\\ Q_0+Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=0\mathrm{;}& 3a<r\end{cases}     \Rightarrow     \mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\ \mathrm{;}& 0<r<2a\\ \\ \displaystyle \frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{r^3}=\frac{8\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \left(\frac{a}{r}\right)^3 \mathbf{r}\ \mathrm{;}& 2a<r<3a\\ \\ \mathbf{0}\mathrm{;}& 3a<r\end{cases}

Es decir, en la región interior a la superficie \Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}: r=6a, el campo eléctrico en este caso es el mismo que en la situación de corteza descargada. Sin embargo, fuera de esta superficie, el campo eléctrico ahora es nulo mientras que en el apartado (a) era equivalente al creado por una carga puntual Q0 en el centro O del sistema.

2.3 Variación de la energía electrostática del sistema

Para calcular la energía electrostática del sistema en cualquiera de las dos configuraciones estudiadas podemos aplicar cualquiera de las siguientes expresiones:

U_e=\frac{1}{2}\int_{\mathrm{I}\!\mathrm{R}^3}\!\!\phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}q\qquad\qquad U_e=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\mathrm{I}\!\mathrm{R}^3}\!\!|\mathbf{E}(\mathbf{r})|^2\ \mathrm{d}\tau

Y puesto que para ambas situaciones hemos determinado las distribuciones de carga y cómo es el campo eléctrico que generan, aplicaremos la expresión de la energía eléctrostática en términos de dicho campo.

Si w_e^\mathrm{(a)}(\mathbf{r}) y w_e^\mathrm{(b)}(\mathbf{r}) son, respectivamente, las densidades de energía en los casos analizados en los apartados (a) y (b), se tendrá:

\Delta U_e=U_e^{(b)}-U_e^{(a)}=\int_{\mathrm{I}\!\mathrm{R}^3}\!\! \left[w_e^\mathrm{(b)}(\mathbf{r}) -w_e^\mathrm{(a)}(\mathbf{r})\right]\ \mathrm{d}\tau

Según vimos anteriormente, el campo eléctrico en r < 6a para las dos configuraciones estudiadas es el mismo. Por tanto, la densidad de energía en cada punto de dicha región y la energía electrostática total allí almacenada van a ser idénticas. En consecuencia, la diferencia de energías electrostáticas en las situaciones de los apartados (a) y (b) se deberá a que en la región r > 6a se almacenen cantidades distintas de esta magnitud. En el caso de la corteza conductora conectada a tierra, no hay campo eléctrico en el exterior y, consecuentemente, la densidad de energía es nula. Por tanto, se tendrá:

\Delta U_e=-\int_{r>6a}\!\! w_e^\mathrm{(a)}(\mathbf{r})\ \mathrm{d}\tau=-\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{r>6a}\!\! |\mathbf{E}^\mathrm{(a)}(\mathbf{r})|^2 \ \mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es radial y que el elemento de volumen en esféricas es \mathrm{d}\tau=r^2\ \mathrm{sen} \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi...

\Delta U_e=-\frac{32\rho_0^2}{9\varepsilon_0}\ a^6 \int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi\int_{0}^{\pi}\!\!\mathrm{d}\theta\ \mathrm{sen} \theta
\int_{6a}^{\infty}\!\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\quad\longrightarrow\quad  \Delta U_e=-\frac{64\rho_0^2}{27\varepsilon_0}\ \pi a^5=-\frac{Q_0^2}{48\pi\varepsilon_0a}

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