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Corriente y campo de un cable coaxial

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un cable coaxial rectilíneo de longitud L = 20 m formado por un núcleo cilíndrico de cobre de radio a = 4 mm, rodeado de una capa de dieléctrico ideal de radio exterior b = 7 mm. Por fuera del dieléctrico se encuentra una corona, también de cobre, de radio exterior c = 9 mm. El cable está terminado en un cortocircuito que conecta el núcleo interior con la corona exterior. En el extremo inicial del cable se establece una diferencia de potencial V0 = 3 mV.

  1. Calcule la intensidad de corriente que circula por el núcleo de cobre, así como la densidad de corriente y el campo eléctrico en todos los puntos del cobre.
  2. Calcule el valor aproximado del campo magnético B en todos los puntos del espacio. Suponga que μ = μ0 en todos los materiales. Desprecie los efectos de borde, considerando, para el cálculo de B, el cable como de longitud infinita.

2 Corriente eléctrica

2.1 Intensidad de corriente

En este sistema tenemos dos resistencias puestas en serie. La corriente sale de la fuente de tensión y avanza por el núcleo del cable, llega al cortocircuito final y retorna por el conductor exterior, cerrándose el circuito.

Tanto en el núcleo como en la corteza exterior la corriente es longitudinal

\mathbf{J}=J\mathbf{u}_z\,
Archivo:cable-coaxial-Jlineal.png        Archivo:cable-coaxial-circuito.png

En este caso, cada resistencia, como en el caso de un cable grueso o un tubo conductor, equivale a la de un conductor filiforme;

R = \frac{L}{\sigma S}

En este problema tenemos dos resistencias: la del núcleo central

R_1 = \frac{L}{\sigma\pi a^2}=\frac{20\,\mathrm{m}}{(5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m})(16\pi \times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=6.67\,\mathrm{m}\Omega

y la de la corteza exterior

R_2 = \frac{L}{\sigma\pi (c^2-b^2)}=\frac{20\,\mathrm{m}}{(5.96\times 10^7\mathrm{S}/\mathrm{m})((81-49)\pi \times 10^{-6}\mathrm{m}^2)}=3.34\,\mathrm{m}\Omega=\frac{R_1}{2}

Esta resistencia es exactamente la mitad que la anterior porque en este sistema se verifica que

c^2-b^2 = 2a^2\,

y al ser la sección de la corona el doble de la del núcleo, su resistencia es la mitad.

Puesto que están en serie, la resistencia total es la suma de ambas

R = R_1+R_2 = 3R_2 =10.0\,\mathrm{m}\Omega

la corriente que circula por el núcleo (y retorna por la corteza) es, de acuerdo con la ley de Ohm para un circuito

I=\frac{\Delta V}{R}=\,\frac{3\,\mathrm{mV}}{10.0\,\mathrm{m}\Omega}=300\,\mathrm{mA}

2.2 Densidad de corriente

Una vez que tenemos la intensidad de corriente, la densidad de corriente es inmediata, pues en el caso de un conductor homogéneo rectilíneo, la corriente se distribuye uniformemente por toda la sección transversal. Por tanto, tenemos:

Núcleo de cobre
La densidad de corriente va en el sentido de +\mathbf{u}_z y su valor es
\mathbf{J}_1=\frac{I}{S}\mathbf{u}_z = \frac{I}{\pi a^2}\mathbf{u}_z = 5960\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}\mathbf{u}_z
Corteza exterior
La densidad de corriente va en el sentido opuesto a la anterior y su módulo es la mitad (al ser el doble la sección)
\mathbf{J}_2=-\frac{I}{S}\mathbf{u}_z = \frac{I}{\pi (c^2-b^2)}\mathbf{u}_z = -2980\,\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}^2}\mathbf{u}_z

2.3 Campo eléctrico

El campo eléctrico lo podemos hallar a partir de la densidad de corriente, dividiendo por la conductividad

\mathbf{E}=\frac{\mathbf{J}}{\sigma}

y obtenemos

Núcleo de cobre
\mathbf{E}_1=\frac{\mathbf{J}_1}{\sigma} = 0.1\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z
Corteza exterior
La densidad de corriente va en el sentido opuesto a la anterior y su módulo es la mitad (al ser el doble la sección)
\mathbf{E}_2=\frac{\mathbf{J}_2}{\sigma} = -0.05\,\frac{\mathrm{mV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_z

Este campo también puede calcularse observando que, dado que R1 = 2R2 la caída de tensión a lo largo del núcleo es

\Delta V_1 = \frac{V_0 R_1}{R_1+R_2}=\frac{2}{3}V_0

y por tanto, a lo largo del núcleo caen 2 mV y en la corteza cae 1 mV. Dividiendo esta caída de tensión por los 2 m que mide el cable, obtenemos los campos anteriores.

3 Campo magnético

El campo magnético de este cable coaxial se calcula del mismo modo que para un cable cilíndrico. Si, para el cálculo del campo magnético, suponemos el cable infinitamente largo, el sistema posee simetría traslacional y rotacional alrededor del eje, por lo que el campo es de la forma

\mathbf{B}=B(\rho)\mathbf{u}_\varphi

pudiendo calcularse fácilmente el campo en cada región mediante la aplicación de la ley de Ampère:

\oint_{\partial S}\! \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =  \mu_0 I\big|_S

Si se toma como curva cerrada \partial S una circunferencia de radio ρ, contenida en un plano perpendicular al eje Z y centrada en un punto de éste, la circulación del campo magnético a lo largo de dicha curva vale

\oint_{\partial S(\rho)}\! \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_0^{2\pi}B(\rho)\rho\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi\rho B(\rho)

Esta circulación es igual a μ0 por la corriente que atraviesa cualquier superficie S que se apoye en la curva cerrada \partial S. Por simplicidad, tomaremos el círculo cuyo perímetro es la circunferencia antes definida.

2\pi\rho B = \mu_0 I(\rho) = \mu_0\int_{S(\rho)}\! \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mu_0 \int_{S(\rho)}\! J\,\mathrm{d}S

Tenemos cuatro regiones, que enumeramos desde el interior al exterior:

ρ < a a < ρ < b
b < ρ < c ρ > c
Interior del núcleo (ρ < a)
La densidad de corriente aquí vale J1 en todas partes y la superficie es la de un círculo de radio ρ, por lo que
2\pi\rho B = \mu_0 J_1\pi\rho^2\,   \Rightarrow   \mathbf{B} = \frac{\mu_0J_1\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi=\frac{\mu_0I\rho}{2\pi a^2}\mathbf{u}_\varphi
Material dieléctrico (a < ρ < b)
En el plástico la circunferencia contiene a toda la corriente J1 y nada de J2. El campo resultante equivale al de un hilo infinito:
2\pi\rho B = \mu_0 J_1\pi a^2\,   \Rightarrow   \mathbf{B} = \frac{\mu_0J_1a^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi=\frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}\mathbf{u}_\varphi
Corona metálica (b < ρ < c)
En el conductor anterior abarcamos toda la corriente que va por el núcleo más parte de la que va por la corona (que va en sentido contrario).
2\pi\rho B = \mu_0 (J_1\pi a^2+J_2\pi(\rho^2-b^2))\,   \Rightarrow   \mathbf{B} = \frac{\mu_0(J_1a^2+J_2(\rho^2-b^2))}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi=\frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\left(1-\frac{\rho^2-b^2}{c^2-b^2}\right)\mathbf{u}_\varphi
Exterior del cable
Fuerza del cable, la corriente que abarcamos es toda la que circula por el núcleo más toda la que circula por la corona. Dado que estas dos intensidades son iguales y opuestas
2\pi\rho B = \mu_0 (J_1\pi a^2+J_2\pi(c^2-b^2))=0\,   \Rightarrow   \mathbf{B} = \mathbf{0}

Reuniendo estos resultados:

\mathbf{B}=\mathbf{u}_\varphi\ \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\rho^2}{a^2}          & \rho < a     \\ 
                                         &              \\ 
                1                        & a <\rho < b  \\ 
                                         &              \\
\displaystyle \frac{c^2-\rho^2}{c^2-b^2} & b < \rho < c \\ 
                                         &              \\ 
                0                        & \rho > c 
\end{cases}

Numéricamente, si medimos el campo magnético en μT y la distancia radial en mm, el resultado es

\mathbf{B}=\frac{59.9\mathbf{u}_\varphi}{\rho}
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\rho^2}{16}           & \rho < 4     \\ 
                                         &              \\ 
                1                        & 4 <\rho < 7  \\ 
                                         &              \\
\displaystyle \frac{81-\rho^2}{32}       & 7 < \rho < 9 \\ 
                                         &              \\ 
                0                        & \rho > 9 
\end{cases}

Vemos que el campo es una función continua, como corresponde a que en ningún lugar del sistema haya densidades superficiales de corriente.

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