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Corriente en tres hilos paralelos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por tres hilos de constantán, una aleación que tiene conductividad \sigma=2.0\times10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, los tres hilos son de la misma longitud, \ell=12\,\mathrm{m}. El hilo “1” tiene una sección transversal A_1=3\,\mathrm{mm}^2, el “2” una sección A_2=1\,\mathrm{mm}^2 y el “3” una sección A_3=2\,\mathrm{mm}^2. Se disponen paralelamente, con una distancia entre ellos b=10\,\mathrm{cm}. Se conectan como indica la figura, con los interruptores A y B cerrados. Tanto los interruptores como las demás conexiones son ideales, sin resistencia. El hilo “1” se conecta a una fuente de tensión continua V_0=13.2\,\mathrm{V} y el “3” a tierra.

Se trata de comparar el estado de corriente continua antes de que se abran los interruptores y el estado de corriente continua después de abrir ambos.

  1. Calcule la intensidad de corriente que circula por cada uno de los hilos.
    1. Con los dos interruptores cerrados.
    2. Con los dos interruptores abiertos.
  2. Calcule la potencia consumida por efecto Joule en cada uno de los hilos y la total del sistema
    1. Con los dos interruptores cerrados.
    2. Con los dos interruptores abiertos.

2 Intensidad de corriente

2.1 Con los interruptores cerrados

Cuando los dos interruptores están cerrados tenemos tres resistencias puestas en paralelo. Cada una de estas resistencias es la correspondiente a un conductor filiforme. Así tenemos, para el hilo “1”

R_1=\frac{\ell}{\sigma A_1}=\frac{12\,\mathrm{m}}{2.0\times 10^6(\mathrm{S}/\mathrm{m})\times 3\times 10^{-6}\mathrm{m}^2}=2.0\,\Omega

Para el hilo 2

R_2=\frac{\ell}{\sigma A_2}=\frac{12\,\mathrm{m}}{2.0\times 10^6(\mathrm{S}/\mathrm{m})\times 1\times 10^{-6}\mathrm{m}^2}=6.0\,\Omega

y para el 3

R_3=\frac{\ell}{\sigma A_3}=\frac{12\,\mathrm{m}}{2.0\times 10^6(\mathrm{S}/\mathrm{m})\times 2\times 10^{-6}\mathrm{m}^2}=3.0\,\Omega

Cada una de estas resistencias está sometida a la misma diferencia de potencial, 14.3 V, por lo que la intensidad de corriente que circula por cada una se halla aplicando directamente la ley de Ohm

\begin{array}{rcl}
I_1&=&\dfrac{\Delta V}{R_1}=\dfrac{13.2\,\mathrm{V}}{2\,\Omega}=6.6\,\mathrm{A}\\
&&\\
I_2&=&\dfrac{\Delta V}{R_2}=\dfrac{13.2\,\mathrm{V}}{6\,\Omega}=2.2\,\mathrm{A}\\
&&\\
I_3&=&\dfrac{\Delta V}{R_3}=\dfrac{13.2\,\mathrm{V}}{3\,\Omega}=4.4\,\mathrm{A}
\end{array}

La resistencia equivalente a este conjunto de resistencias es

R_{eq}=\left(\frac{1}{2\,\Omega}+\frac{1}{6\,\Omega}+\frac{1}{3\,\Omega}\right)^{-1}=1\,\Omega

2.2 Con los interruptores abiertos

Cuando se abren los interruptores las tres resistencias pasan a estar en serie. La resistencia equivalente del sistema es

R_{eq}=R_1+R_2+R_3=11\,\Omega

con lo cual la intensidad de corriente que circula por las tres resistencias vale

I_1=I_2=I_3=\frac{\Delta V}{R_\mathrm{eq}}=\dfrac{13.2\,\mathrm{V}}{11\,\Omega}=1.2\,\mathrm{A}

3 Potencia disipada

3.1 Interruptores cerrados

Podemos hallar la potencia sumando la disipada en cada hilo. Puesto que todos están a la misma diferencia de potencial

P=\frac{(\Delta V)^2}{R_1}+\frac{(\Delta V)^2}{R_2}+\frac{(\Delta V)^2}{R_3}=(13.2\,\mathrm{V})^2\left(\frac{1}{2\,\Omega}+\frac{1}{6\,\Omega}+\frac{1}{3\,\Omega}\right)=174.24\,\mathrm{W}

3.2 Interruptores abiertos

Al estar en serie, es más simple calcular la potencia disipada a partir de la intensidad de corriente, que es la misma en las tres resistencias

P=I^2 R_1+I^2 R_2+ I^2 R_3 = (1.2\,\mathrm{A})^2\left({2\,\Omega}+{6\,\Omega}+{3\,\Omega}\right)=15.84\,\mathrm{W}

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