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Corriente de desplazamiento en un condensador plano GIA

De Laplace

1 Enunciado

Tenemos un condensador plano de placas circulares de radio R= 2.30\,\mathrm{ cm} separadas par una distancia d=1.10\,\mathrm{mm}. Al condensador llega una corriente I=5.00\,\mathrm{A}. Calcula la corriente de desplazamiento en el interior del condensador.

2 Solución

La corriente que llega al condensador provoca que en una de sus placas aparezca una carga Q(t). Esta carga crea un campo eléctrico entre las cargas y produce una carga Q(t) en la placa opuesta, pues ambas placas están en influencia total. Este campo eléctrico depende del tiempo, y la corriente de desplazamiento es proporcional a la derivada en el tiempo del flujo eléctrico de este campo. Si llamamos I0 a la corriente que llega a las placas tenemos


I_0 = \dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}

Esto es así por que la carga que lleva la corriente no puede atravesar el condensador y queda depositada en la placa del condensador.

Como el radio de las placas del condensador es mucho menor que la distancia que las separa (R\ll d ), está justificado despreciar los efectos de borde. Suponemos entonces que el campo eléctrico entre las placas del condensador es uniforme y perpendicular a las placas


\vec{E}(t) = E_0(t)\,\vec{u}

El vector \vec{u} es un vector unitario que va desde la placa con carga positiva a la negativa.

Vimos en el tema dos que el campo creado entre dos placas con densidades de carga del mismo valor absoluto y signos contrarios era


\vec{E} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{u}

donde σ es la densidad superficial de carga. En nuestro caso la densidad superficial de carga es


\sigma = \dfrac{Q(t)}{A}

siendo A=\pi\,R^2 el área de las placas del condensador. Entonces el campo eléctrico entre las placas puede escribirse


\vec{E}(t) = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0A}\,\vec{u}

Vamos a calcular la corriente de desplazamiento que atraviesa el condensador. El flujo eléctrico a través de una superficie paralela a las placas es


\Phi_e = \int\limits_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} =
\int\limits_S\left(E_0(t)\,\vec{u}\right)\cdot\left(\mathrm{d}A\,\vec{u}\right)=
\int\limits_SE_0(t)\,\mathrm{d}A

Como el campo eléctrico es uniforme tenemos


\Phi_e = E_0(t)\,A = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0A}A = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0}

La corriente de desplazamiento es


I_d = \varepsilon_0\dfrac{\mathrm{d}\Phi_e}{\mathrm{d}t} =
\dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}

Pero este valor es igual a la corriente que llega a las placas.


I_d = I_0 = \dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}

Vemos entonces que la corriente de desplazamiento entre las placas del condensador es igual a la corriente de conducción en el cable. Este hecho es el que hace que la Ley de Ampère-Maxwell pueda aplicarse a cualquier superficie apoyada en una curva cerrada. La Ley es


\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 
\mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{\Gamma}}

En el sistema de la figura, consideramos dos superficies apoyadas en la curva cerrada Γ. Si aplicamos la Ley de Ampère en la superficie S1 tenemos


\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 
\mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{1}}=
\mu_0\,I_0

Mientras que si lo hacemos en la superficie dos tenemos


\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 
\mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{2}}=
\mu_0\,I_d=
\mu_0\,I_0

Hay que señalar que el hecho de que la corriente de conducción en el cable y la corriente de desplazamiento en el interior del condensador sean numéricamente iguales no quiere decir que podamos escribir la Ley de Ampère-Maxwell así


\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 
\mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{\Gamma}}=
\mu_0\left[2\,I_0 \right]_{S_{\Gamma}}

Esto no es correcto. La corriente de conducción y la de desplazamiento aparecen en lugares distintos. La de conducción en el cable y la de desplazamiento en el interior del condensador.

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