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Coordenadas esféricas. Base vectorial

De Laplace

Contenido

1 Base vectorial

La coordenada {\varphi} es la misma que en cilíndricas, por lo que su vector unitario es también el mismo

\mathbf{u}_\varphi = \mathbf{u}_\varphi= -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

Para \mathbf{u}_{r}\, y \mathbf{u}_{\theta}\, construimos un nuevo triángulo rectángulo, éste sobre un plano {\varphi}=\mathrm{cte}.

El vector \mathbf{u}_{r}\, va en la dirección radial, por lo que se relaciona con la base cilíndrica como

\mathbf{u}_{r}= \mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\rho}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}

y, sustituyendo la relación con la base cartesiana

\mathbf{u}_{r}=\mathrm{sen}\,\theta\,\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}+\cos\theta\mathbf{u}_{z}

mientras que \mathbf{u}_{\theta}\, es tangente al meridiano de radio r\, y apunta hacia el sur

\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\mathbf{u}_{\rho}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}

y, en términos de la base cartesiana,

\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base esférica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma (r,\theta,\varphi) (en particular, ¡ojo al orden de los ángulos!). Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_r \mathbf{u}_\theta \mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_r 1 0 0
\mathbf{u}_\theta 0 1 0
\mathbf{u}_\varphi 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_r \mathbf{u}_\theta \mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_r 0 \mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_\theta
\mathbf{u}_\theta -\mathbf{u}_\varphi 0 \mathbf{u}_r
\mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_\theta -\mathbf{u}_r 0

3 Factores de escala

Para la coordenada \varphi, al tratarse de la misma que en cilíndricas, tendríamos que

h_\varphi= \rho

pero, ¡alto!, ρ no es una coordenada esférica. Para escribir este resultado correctamente, debemos escribirlo todo en esféricas, así:

h_\varphi= r\,\mathrm{sen}\,\theta

La coordenada r\, es una distancia, por lo que su factor de escala es

h_r=1\,

mientras que \theta\, es un ángulo, lo que hace que la distancia recorrida sea el radio por el ángulo, y

h_\theta = r\,

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