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Coordenadas cilíndricas. Base vectorial

De Laplace

Contenido

1 Base vectorial

Con ayuda de un poco de trigonometría construimos la base vectorial de cilíndricas.

  • Antes de eso, recordamos que la coordenada z\, es la misma en cilíndricas que en esféricas, por lo que comparte el vector unitario
\mathbf{u}_{z}=\mathbf{k}\,
  • Para \mathbf{u}_{\rho} y \mathbf{u}_{{\varphi}} consideramos un triángulo rectángulo en

el plano horizontal que pasa por P\,. Al aumentar la coordenada \rho\, nos movemos a lo largo de la hipotenusa, por lo que

\mathbf{u}_\rho = \cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{u}_{y}
  • El vector \mathbf{u}_{{\varphi}} es tangente a la circunferencia que pasa por P\,, y por tanto perpendicular a la hipotenusa
\mathbf{u}_\varphi = -\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{x} + \cos\varphi \mathbf{u}_{y}

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cilíndrica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma (\rho,\varphi,z). Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 1 0 0
\mathbf{u}_\varphi 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_\rho \mathbf{u}_\varphi \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_\rho 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_\varphi
\mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_\rho
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_\varphi -\mathbf{u}_\rho 0

3 Factores de escala

  • El factor de escala de la coordenada z\, es el mismo que en cartesianas
h_z = 1\,
  • La coordenada ρ es una distancia, por lo que variar una cantidad \mathbf{d}\rho\, equivale a recorrer una distancia \mathrm{d}\rho\, y
hρ = 1
  • La coordenada {\varphi} es, en cambio, es un ángulo. Al variar la coordenada en \mathrm{d}{\varphi} sobre una circunferencia de radio \rho\,, la

distancia recorrida es \rho\,\mathrm{d}{\varphi} y el factor de escala es

h_{\varphi} = \frac{|\mathrm{d}\mathbf{r}|}{\mathrm{d} {\varphi}} = \rho


3.1 ¡Ojo a la dirección de los vectores!

Los vectores \mathbf{u}_{\rho}\, y \mathbf{u}_{{\varphi}} son funciones de la coordenada {\varphi}. Eso quiere decir que, dependiendo del punto que estemos considerando, apuntan en un sentido u otro. En particular, si consideramos dos puntos diametralmente opuestos respecto al eje Z\,, el vector \mathbf{u}_{\rho}\, en el primer punto es exactamente el opuesto que en el otro, esto es, que "\mathbf{u}_{\rho}\," no significa siempre lo mismo, ya que

Los vectores de la base dependen de la posición

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