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Coordenadas cartesianas. Base vectorial

De Laplace

Contenido

1 Vectores de la base

Para el sistema cartesiano la construcción es inmediata. En cada punto del espacio las líneas coordenadas son rectas paralelas a los ejes X\,, Y\, y Z\,. Por tanto, los vectores de la base cartesiana son nuestros viejos conocidos \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,

\mathbf{u}_x = \mathbf{i}\qquad \mathbf{u}_y = \mathbf{j}\qquad \mathbf{u}_z = \mathbf{k}

con una diferencia de matiz. La base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\, no está asociada a un punto en concreto. La base \{\mathbf{u}_x, \mathbf{u}_y, \mathbf{u}_z\} sí está asociada a cada punto en concreto, sólo que en cada punto coincide con \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,.

2 Base ortonormal dextrógira

Los vectores de la base cartesiana forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma tradicional (x,y,z)\,. Los productos escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

· \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 1 0 0
\mathbf{u}_y 0 1 0
\mathbf{u}_z 0 0 1


\times\, \mathbf{u}_x \mathbf{u}_y \mathbf{u}_z
\mathbf{u}_x 0 \mathbf{u}_z -\mathbf{u}_y
\mathbf{u}_y -\mathbf{u}_z 0 \mathbf{u}_x
\mathbf{u}_z \mathbf{u}_y -\mathbf{u}_x 0

3 Factores de escala

Los factores de escala en este sistema también son sencillos. Puesto que las coordenadas representan distancias a los planos coordenados, si nos desplazamos una cantidad \mathrm{d}x\, a lo largo de la línea coordenada x\,, la distancia que recorremos es... ¡\mathrm{d}x\,!. Lo mismo con y\, y con z\,. Por tanto, los factores de escala para las tres coordenadas valen

h_x = 1\qquad h_y = 1\qquad h_z = 1

Las coordenadas cartesianas poseen una propiedad que las hace diferentes del resto de sistemas de coordenadas:

La base cartesiana es la única independiente de la posición

4 Vector de posición

El vector de posición en la base cartesiana y en componentes cartesianas se escribe

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}

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