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Consecuencias del equilibrio electrostático

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Como consecuencia de la condición de equilibrio electrostático

  • El campo eléctrico es nulo en el material conductor
  • El material conductor es equipotencial.
  • No hay densidad de carga de volumen en el material.
  • Toda la carga está almacenada en las superficies del conductor.
  • No hay líneas de campo que vayan de un conductor a él mismo.
  • El campo justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.
  • El campo justo fuera del condductor es de la forma
\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}

Veamos cada una de estas propiedades por separado.

2 Anulación del campo

La condición de equilibrio electrostático requiere que las cargas se encuentren reposo en el material conductor. Esto es, no se mueven, pese a que podrían hacerlo (pues un material conductor permite el desplazamiento de carga por su interior).

Si las cargas se encuentran en equilibrio, la fuerza sobre cada una de ellas debe ser nula

\mathbf{0}=\mathbf{F}=q\mathbf{E}(\mathbf{r}_q)\,

Puesto que esto tiene que ser cierto para cada carga en cualquier punto del interior del material conductor, ello implica que

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\qquad\forall\mathbf{r}\in\tau

siendo τ el volumen de material conductor.

Esta es la propiedad básica que caracteriza a los conductores en equilibrio electrostático. Todas las demás que veremos se deducen de ella.

Hay que insistir que esta propiedad se cumple para un conductor en equilibrio. Si el conductor no está en equilibrio, porque está circulando una corriente por su interior, entonces no es cierto que \mathbf{E}=\mathbf{0}. No hay que pensar que, por el simple hecho de ser conductor, ya el campo se anula en un material. La misma salvedad al resto de las propiedades que siguen.

3 Equipotencialidad

Supongamos dos puntos, A y B, en el material conductor. La diferencia de potencial entre estos dos puntos es

V_A-V_B = \int_A^B \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

donde la integral se calcula a lo largo de una curva arbitraria que conecte A y B. Puesto que podemos elegir la que queramos, podemos tomar una que recorra exclusivamente el interior del material conductor, en el cual el campo eléctrico es nulo. En ese caso

V_A-V_B = \int_A^B \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_A^B \mathbf{0}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0   \Rightarrow   V_A=V_B\,

Por tanto, todo el volumen del conductor es equipotencial

\phi(\mathbf{r})=V_0\qquad\forall\mathbf{r}\in\tau

Esta condición se aplica, en particular, a los puntos de la superficie del conductor, \partial\tau:

\phi(\mathbf{r})=V_0\qquad\forall\mathbf{r}\in\partial\tau

La superficie de un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial.

Esta propiedad se cumple siempre que exista ese camino que conecte los dos puntos. Por ejemplo, si tenemos dos bloques metálicos unidos por un fino cable y el sistema está en equilibrio, los dos bloques están al mismo potencial, porque podemos hallar un camino, que pasa por el cable, para cualesquiera dos puntos de los bloques. Si el cable de conexión no está presente, los potenciales de los dos conductores, aunque estén en equilibrio, no tienen por qué ser iguales. En cada uno será una constante, pero estas constantes pueden ser diferentes.

Por supuesto, esta propiedad no se cumple si el conductor no está en equilibrio. Si hay una corriente fluyendo por el material habrá puntos que estén a un potencial y otros a otro, aunque sean puntos del mismo conductor.

4 Densidad volumétrica nula

La ley de Gauss en forma diferencial nos permite calcular la densidad de carga, conocido el campo eléctrico. Para cualquier punto del interior del material conductor

\rho(\mathbf{r})=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{0}=0

La densidad volumétrica de carga es nula en todos los puntos del interior del material conductor en equilibrio.

Este resultado se puede interpretar físicamente de la siguiente forma: si hubiera una densidad de carga neta, necesariamente habría campo en los alrededores (pues las cargas son manantiales y sumideros de campo eléctrico), lo que rompería la situación de equilibrio electrostático.

Por supuesto, cuando decimos que la densidad de carga de volumen es nula, no estamos diciendo que no haya carga alguna en el material. Un material conductor no es más que un conjunto de átomos, cada uno de los cuales se compone de numerosos protones y electrones, cada uno con su carga eléctrica. Por tanto, en cada elemento de volumen Δτ existen miles de millones de cargas individuales. Lo que se anula es la carga neta en cada elemento de volumen, de acuerdo con la definición de densidad de carga

\rho(\mathbf{r})=\frac{1}{\Delta\tau}\sum_{q_i\in\tau}q_i

De hecho, cuando se dice, con cierta ligereza, que “todas las cargas se van a la superficie” habría que decir con precisión que “el exceso de carga en el volumen se va a la superficie”, ya que la amplísima mayoría de las cargas (más del 99.99% de ellas) permanecen en su puesto. Solo una minúscula fracción se va a la superficie, pero lo suficiente para que el volumen del material conductor sea eléctricamente neutro en el equilibrio electrostático.

De nuevo, esta propiedad no tiene por qué cumplirse si el conductor no está en equilibrio. Durante los periodos transitorios entre equilibrios es perfectamente posible que haya una densidad de carga no nula en interior de un material conductor.

5 Densidad superficial no nula

La carga neta en un conductor no tiene por qué se nula. Por diferentes causas puede haber un exceso o defecto de cargas positivas o negativas en él. Incluso cuando la carga total es nula, ésta puede estar distribuida de manera no uniforme, con zonas de acumulación de cargas positivas y negativas separadas.

Ahora bien, si el conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la densidad de carga de volumen es nula, según acabamos de ver. Por tanto todo exceso de carga debe encontrarse en la superficie

\sigma_s(\mathbf{r})\neq 0

En un conductor en equilibrio electrostático, la única densidad de carga es superficial.

En el caso de una densidad superficial no hay conflicto con la ley de Gauss, pues al ser el campo discontinuo (y no derivable, por tanto) no se puede aplicar la forma diferencial de la ley.

Esta densidad de carga, no obstante, es desconocida a priori. dado que las cargas pueden moverse por el conductor, cualquier alteración del sistema (moviendo los demás conductores o variando su carga) provoca una redistribución de la carga y por tanto una modificiación de la densidad de carga superficial.

Si toda densidad de carga es superficial, la carga total de un conductor en equilibrio se calculará como

Q=\oint \sigma_s\,\mathrm{d}S

Incluso cuando Q = 0 la densidad de carga superficial será distinta de cero y desconocida de antemano, ya que los átomos del material proporcionan electrones suficientes para que se acumule una densidad superficial (aunque la negativa de algún punto de la superficie debe verse compensada con la positiva de otro, si la carga total es cero).

6 Líneas de campo prohibidas

Supongamos un conductor en equilibrio electrostático, y con una densidad de carga superficial que es positiva en algún punto de la superficie y negativa en otro. ¿Puede haber alguna línea de campo eléctrico que, partiendo de la superficie, donde σs > 0, vaya a parar a la misma superficie donde σs < 0? Después de todo tendríamos una línea de campo que va de las cargas positivas a las negativas, lo que parece razonable.

La respuesta es que no, no puede haber una línea de campo eléctrico que partiendo de un conductor, vaya a parar a él mismo.

Una explicación sencilla es que el campo electrostático siempre va de mayor a menor potencial y si todo el conductor se encuentra al mismo potencial, esta línea incumpliría esta propiedad.

Más precisamente, supongamos que existe tal línea de campo Γ1 que parte de un punto A de la supeficie y llega a un punto B de la misma. Si calculamos la circulación del campo electrostático a lo largo de una curva cerrada Γ que va de A a B a lo largo de esta línea de campo y de B a A por Γ2, interior del material conductor. Puesto que la circulación del campo electrostático a lo largo de cualquier curva cerrada es nula, se cumple que

0 = \oint_\Gamma\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{A,\Gamma_1}^B\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}+\int_{B,\Gamma_2}^A\overbrace{\mathbf{E}}^{=0}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{A,\Gamma_1}^B E\,\mathrm{d}l> 0

En la integral sobre Γ1, puesto que se trata de una línea de campo \mathbf{E} y \mathrm{d}\mathbf{r} son vectores paralelos y en el mismo sentido, por lo que el producto escalar es igual al producto de los módulos, \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=E\,\mathrm{d}l. Ahora bien, la integral de una cantidad siempre positiva no puede ser nula, por lo que hemos llegado a una contradicción. Por tanto, tal línea de campo no existe.

Las líneas de campo eléctrico en un sistema de conductores en equilibrio siempre van de un conductor a otro a menor potencial, o desde o hacia el infinito.

7 Ortogonalidad a la superficie

Sea \partial\tau la superficie del conductor en equilibrio, y sea 1 la región interior del material y 2 su exterior. sabemos que en el interior del conductor el campo eléctrico es nulo. Ahora queremos saber cómo es el campo justo fuera del conductor.

Sobre la superficie del conductor, la componente tangencial del campo eléctrico es continua (como en cualquier otra superficie)

\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}   \Rightarrow   \mathbf{E}_{t1}=\mathbf{E}_{t2}\quad \mathbf{r}\in\partial\tau

Sin embargo, en el interior, el campo eléctrico es nulo. En particular, su componente tangencial es nula. Por tanto

\mathbf{E}_1=\mathbf{0}   \Rightarrow   \mathbf{E}_{1t}=\mathbf{0}   \Rightarrow   \mathbf{E}_{2t}=\mathbf{E}_{1t}=\mathbf{0}

esto es, la componente tangencial del campo eléctrico justo fuera del conductor es nula, y por tanto, en estos puntos exteriores

\mathbf{E}=E\mathbf{n}\qquad\mathbf{r}\in\partial\tau

8 Proporcionalidad a σs

Podemos dar una expresión más precisa a la expresión del campo en los puntos justo fuera del conductor. Aplicando la condición de salto para la componente normal tenemos

\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}]=E_{2n}-E_{1n} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}

pero la componente normal del campo interior, como la tangencial, es idénticamente nula, por lo que

E_{1n}=0\,   \Rightarrow   E_{2n}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}

Esto nos da la expresión vectorial para el campo justo en los puntos exteriores al conductor:

\mathbf{E} = \frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}\mathbf{n}

Hay que señalar que esta expresión no nos dice cuánto vale el campo fuera del conductor, ya que, según hemos señalado, la densidad de carga superficial es desconocida (ya que la carga se puede redistribuir). Lo que establece es una relación de proporcionalidad entre el campo exterior y la densidad de carga superficial. Si hallamos el campo obtenemos la carga y viceversa.

También hay que señalar que, aunque en la expresión sólo aparezca la densidad de carga superficial vecina al punto donde hallamos el campo, realmente este campo es el producido por todas las cargas, vecinas o lejanas.

Podemos incluso distinguir cuánto campo corresponde a esta densidad de carga superficial y cuanto al resto del universo. Si consideramos un pequeño disco en la superficie alrededor de un punto P de la superficie, entonces el principio de superposición nos da que el campo en cualquier punto es

\mathbf{E}=\mathbf{E}_0+\mathbf{E}'

El campo de un disco de carga, en los puntos del eje vecinos al plano, se comporta como el de un plano infinito y vale

\mathbf{E}_0= \frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\mathbf{n}

que es la mitad del campo en el exterior del conductor. Por tanto, el campo justo en el exterior de un conductor se debe en un 50% a la carga situada en las proximidades, y en un 50% al resto del universo.

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