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Conexiones de dos bombillas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se desea encender dos bombillas de resistencia R0, para lo cual se dispone de una batería de f.e.m. \mathcal{E} y resistencia interna r.

  1. En un primer montaje se disponen las dos bombillas en serie.
    1. Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una.
    2. Halle la potencia que consumen (que dará una medida de la luz que desprenden).
    3. Calcule la potencia desarrollada por el generador y el consumo de energía en el propio generador.
  2. A continuación se prueba a montarlas en paralelo.
    1. Calcule la intensidad de corriente que circula por cada una.
    2. Halle la potencia que consumen.
    3. Calcule la potencia desarrollada por el generador y el consumo de energía en el propio generador.
  3. ¿En cuál de los dos montajes el conjunto de las dos bombillas dará más luz?
  4. Supongamos que tenemos una batería de 10 V y 1 Ω de resistencia interna y dos bombillas en cuya etiqueta pone “10V 25W”, ¿cómo deberemos montarlas para que den el máximo de luz? ¿Cuánta potencia consumirán en ese caso?
Archivo:dos-bombillas-serie.png        Archivo:dos-bombillas-paralelo.png

2 Bombillas en serie

Si las dos bombillas están en serie, el modelo del sistema es un circuito sencillo formado por cuatro elementos en serie:

  • Una fuente ideal de f.e.m \mathcal{E}
  • La resistencia interna de la fuente, r
  • Las dos resistencias de las dos bombillas.

En este circuito la corriente que circula por él es igual a la f.e.m. dividida por la suma de todas las resistencias

I = \frac{\mathcal{E}}{r+2R_0}

La potencia disipada en las dos bombillas conjuntamente es

P_{bs} = 2I^2 R_0 = \frac{2R_0\mathcal{E}^2}{(r+2R_0)^2}

La potencia generada por la fuente vale

P_g = I\mathcal{E}= \frac{\mathcal{E}^2}{r+2R_0}

y la consumida en la propia fuente es la diferencia entre las dos anteriores

P_r = I^2r=\frac{r\mathcal{E}^2}{(r+2R_0)^2}

3 Bombillas en paralelo

Si las dos bombillas están en paralelo, la diferencia de potencial entre sus extremos es la misma para los dos e igual a la tensión a la salida de la fuente

V_p-V_N = I_1R_0\,

siendo I1 la corriente que circula por una bombilla (que al ser las dos iguales, será idéntica a la que pasa por la otra).

La tensión a la salida de la fuente no es igual a la f.e.m., por no ser la fuente ideal, sino que hay una caída de tensión en la resistencia interna

V_P-V_N = \mathcal{E}-Ir

siendo

I = I_1+I_2 = 2I_1\,

Nos queda entonces que la corriente que va por cada bombilla es

\mathcal{E}-2I_1r = I_1R_0\qquad\Rightarrow\qquad I_1 = \frac{\mathcal{E}}{2r+R_0}

y la potencia consumida en las dos bombillas es

P_{bp}=2I_1^2R_0 = \frac{2R_0\mathcal{E}^2}{(2r+R_0)^2}

La potencia inyectada por la fuente en el sistema es, en este caso,

P_g = I \mathcal{E}=2I_1 \mathcal{E}=\frac{2\mathcal{E}^2}{2r+R_0}

y la consumida en la propia fuente

P_r = I^2 r = 4I_1^2r = \frac{4r\mathcal{E}^2}{(2r+R_0)^2}

cumpliéndose como antes que

P_g = P_r + P_b\,

4 Comparación de los dos sistemas

Para ver en cuál de las dos configuraciones se produce mayor cantidad de luz, comparamos las potencias consumidas por las bombillas en cada caso y queda la proporción

\frac{P_{bp}}{P_{bs}}=\frac{{2R_0\mathcal{E}^2}/{(2r+R_0)^2}}{{2R_0\mathcal{E}^2}/{(r+2R_0)^2}}=\left(\frac{r+2R_0}{2r+R_0}\right)^2

que también se puede escribir como

\frac{P_{bp}}{P_{bs}}=\left(1+\frac{R_0-r}{2r+R_0}\right)^2

El resultado depende por tanto de la proporción entre la resistencia de las bombillas y la interna de la fuente:

  • Si la resistencia de cada bombilla es superior a la interna el numerador es mayor que el denominador y las bombillas en paralelo dan más luz que en serie.
  • Si R0 < r la configuración en serie es la más luminosa.

Si las dos resistencias son iguales, las configuraciones son equivalentes.

En un caso real siempre es preferible montarlas en paralelo ya que la resistencia de una bombilla puede rondar los kiloohmios, mientras que la interna de una fuente puede ser del orden de 1 Ω.

5 Caso práctico

El que una bombilla de potencia nominal P0 a una tensión V0 no quiere decir que siempre consuma esa potencia, sino que esa es la que gasta a esa tensión en concreto. Esto nos da la resistencia de la bombilla

P_0 = \frac{V_0^2}{R_0}\qquad\Rightarrow\qquad R_0=\frac{V_0^2}{P_0}

esta resistencia también es un valor dependiente de la tensión aplicada (el comportamiento de una bombilla depende de la temperatura a la que se encuentra y ésta depende de la corriente que circula por ella), pero en primera aproximación podemos suponerla más o menos constante.

En el caso que se nos da tenemos una potencia de 25W a una tensión de 10V, por lo que la resistencia de la bombilla es

R_0=\frac{100\,\mathrm{V}^2}{25\,\mathrm{W}}= 4\,\Omega

Este valor es mayor que la resistencia interna de la fuente, por lo que es preferible montar estas bombillas en paralelo.

Para una fuente de 10V y 1Ω de resistencia interna, la corriente que circula por cada bombilla sería

I_1 = \frac{\mathcal{E}}{2r+R_0}=1.67\,\mathrm{A}

siendo la potencia consumida por las dos bombillas

P_{bp}=2I_1^2 R_0 = 22.2\,\mathrm{W}

la desarrollada por la fuente

P_g = I\mathcal{E}=33.3\,\mathrm{W}

y la consumida por la resistencia interna

P_r = I^2 r = 11.1\,\mathrm{W}

Caso de que las hubiéramos montado en serie, la corriente que pasaría por ellas sería

I = \frac{\mathcal{E}}{r+2R0}= 1.11\,\mathrm{A}

con lo que consumirían una potencia

P_{bs}=2I^2 R_0 = 9.88\,\mathrm{W}

siendo en este caso la potencia del generador y la disipada en la resistencia interna

P_g = 11.1\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_r = 1.23\,\mathrm{W}

Vemos que en paralelo dan más luz, aunque también la batería se consumirá mucho antes.

Estos valores numéricos, no obstante, son absurdos porque, como se ha dicho, la resistencia efectiva de una bombilla es mucho mayor y la corriente es mucho más baja. Una intensidad de corriente de más de 1A quemaría la bombilla directamente.

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