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Conexiones de cuatro bombillas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se dispone de cuatro bombillas, A, B, C, D. El etiquetado de estas bombillas indica que, para un voltaje de 120V, sus potencias nominales son respectivamente 30W, 60W, 120W y 40W. Se montan la cuatro bombillas en el siguiente esquema y se aplica entre los extremos una diferencia de potencial de 120V.

Archivo:4bombillas.png
  1. Calcule el consumo de cada bombilla (en vatios) para este montaje, así como el consumo total del montaje. ¿Cuál es la que da más luz? ¿Y la que menos?
  2. Suponga que se cierra el interruptor central. Una vez cerrado, ¿cuál es el nuevo consumo total y el individual? ¿Cuál es ahora la bombilla más brillante y la menos brillante?

2 Resistencia de cada bombilla

Este problema se reduce a calcular las potencias disipadas en una serie de resistencias. Para resolverlo, primero debemos calcular los valores de éstas, empleando las potencias nominales.

Cuando en un aparato eléctrico (una bombilla, una plancha, una estufa) sus especificaciones indican valores como 120V 40W, quiere decir que si aplica una diferencia de potencial de 120V entre sus terminales, la potencia que consume es de 40W. Puesto que la potencia consumida en una resistencia por efecto Joule verifica

P = \frac{(\Delta V)^2}{R}

obtenemos la resistencia de cada bombilla como

R_i = \frac{(\Delta V_\mathrm{nom})^2}{P_\mathrm{nom}}

esto nos da, para las cuatro0 bombillas

\begin{array}{rcl}R_A & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{30\,\mathrm{W}}= 480\,\Omega\\ && \\
R_B & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{60\,\mathrm{W}}= 240\,\Omega\\ && \\
R_C & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{120\,\mathrm{W}}= 120\,\Omega\\ && \\
R_D & = & \displaystyle\frac{120^2 \mathrm{V}^2}{40\,\mathrm{W}}= 360\,\Omega \end{array}

A partir de aquí podemos olvidarnos de las potencias nominales y trabajar exclusivamente con las resistencias.

3 Antes de cerrar el interruptor

Inicialmente tenemos un circuito formado por dos ramas en paralelo, cada una de las cuales consta de dos resistencias puestas en serie.

Al estar en paralelo, la diferencia de potencial en la rama superior es la misma que en la inferior e igual a la aplicada por la fuente, que es de 120V. Para cada una de las ramas se aplica lo que se demuestra en otro problema.

Considerando primero la rama superior tenemos dos resistencias en serie, por las cuales circula la misma intensidad de corriente. La potencia disipada en cada una es

P_A = I_1^2 R_A\qquad\qquad P_B = I_1^2 R_B

siendo la corriente que circula por esta rama

I_1 = \frac{\Delta V}{R_A+R_B} = \frac{120\,\mathrm{V}}{(480+240)\,\Omega}=\frac{1}{6}\,\mathrm{A}=0.167\,\mathrm{A}

con lo que obtenemos las potencias

P_A = \left(\frac{1}{6}\mathrm{A}\right)^2\times 480\,\Omega = \frac{40}{3}\,\mathrm{W}=13.3\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_B = \left(\frac{1}{6}\mathrm{A}\right)^2\times 240\,\Omega=\frac{20}{3}\mathrm{W}=6.67\,\mathrm{W}

Para la rama inferior se opera igualmente. La intensidad de corriente por esta rama es

I_2 = \frac{\Delta V}{R_C+R_D} = \frac{120\,\mathrm{V}}{(120+360)\,\Omega}=\frac{1}{4}\mathrm{A}

y la potencia disipada en cada resistencia

P_C = I_2^2R_C = \frac{15}{2}\,\mathrm{W}=7.5\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_D = I_2^2 R_D = \frac{45}{2}\,\mathrm{W}=22.5\,\mathrm{W}

Si ordenamos las potencias de mayor a menor, nos queda

\begin{array}{ccccccc}
22.5\,\mathrm{W} & > & 13.3\,\mathrm{W} & > & 6.67\,\mathrm{W} & > & 7.5\,\mathrm{W}\\ 
P_D & > & P_A & > & P_C & > & P_B
\end{array}

Dado que la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, la bombilla más luminosa será la D (40W) y la menos la B (60W). Vemos que ni una ni la otra son la que tiene la mayor ni la menor potencia nominal.

Archivo:4bombillas-01.png

La potencia total disipada en las cuatro bombillas es

P=P_A+ P_B + P_C + P_D = \left(\frac{40}{3}+\frac{20}{3}+\frac{15}{2}+\frac{45}{2}\right)\mathrm{W}= 50\,\mathrm{W}

4 Después de cerrar el interruptor

Una vez que se cierra el interruptor, cambia la topología del circuito. Ahora, como en otro problema, el sistema pasa a estar formado por una asociación en serie de dos tramos, cada uno de los cuales se compone de dos resistencias en paralelo.

Ahora pasa la misma corriente por cada tramo, siendo el valor de esta intensidad

I' = \frac{\Delta V}{R_\mathrm{eq}}

la resistencia equivalente la calculamos a partir de asociaciones en serie y en paralelo. Para el primer tramo

\frac{1}{R_{AC}}=\frac{1}{R_A}+\frac{1}{R_C}=\frac{1}{480\,\omega}+\frac{1}{120\,\Omega} = \frac{1}{96\,\Omega}\qquad\Rightarrow\qquad R_{AC}=96\,\Omega

y para el segundo tramo

\frac{1}{R_{BD}}=\frac{1}{R_B}+\frac{1}{R_D}=\frac{1}{240\,\omega}+\frac{1}{360\,\Omega} = \frac{1}{244\,\Omega}\qquad\Rightarrow\qquad R_{AC}=144\,\Omega

La resistencia equivalente a toda la asociación

R_\mathrm{eq}=96\,\Omega+144\,\Omega = 240\,\Omega

y la corriente que circula por el conjunto

I' = \frac{120\,\mathrm{V}}{240\,\Omega}=\frac{1}{2}\,\mathrm{A}=0.5\,\mathrm{A}

De aquí obtenemos la caída de tensión en cada tramo

\Delta V_1 = I'R_{AC}= 48\,\mathrm{V}\qquad\qquad\Delta V_2 = I'R_{BD}=72\,\mathrm{V}

y ya podemos calcular potencia consumida en cada bombilla

\begin{array}{rcl}P_A & = & \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{480\,\Omega} = \frac{24}{5}\,\mathrm{W}=4.8\,\mathrm{W}\\ && \\
R_B & = & \displaystyle \displaystyle\frac{72^2 \mathrm{V}^2}{240\,\Omega} = \frac{108}{5}\,\mathrm{W}=21.6\,\mathrm{W}\\ && \\
R_C & = & \displaystyle \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{120\,\Omega} = \frac{96}{5}\,\mathrm{W}=19.2\,\mathrm{W}\\ && \\
R_D & = & \displaystyle \displaystyle\frac{48^2 \mathrm{V}^2}{480\,\Omega} = \frac{24}{5}\,\mathrm{W}=14.4\,\mathrm{W} \end{array}

Ordenando de nuevo de mayor a menor

\begin{array}{ccccccc}
21.6\,\mathrm{W} & > & 19.2\,\mathrm{W} & > & 14.4\,\mathrm{W} & > & 4.8\,\mathrm{W}\\ 
P_B & > & P_C & > & P_D & > & P_A
\end{array}

Ahora la más brillante es la B (60W) y la menos la A (30W).

Archivo:4bombillas-02.png

La potencia total disipada es en este caso

P = \left(4.8+21.6+19.2+14.4\right)\mathrm{W} = 60\,\mathrm{W}

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