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Conexión y desconexión de condensadores Primera Prueba de Control 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos condensadores planos idénticos de capacidad C=4.00\,\mathrm{nF} se conectan en paralelo y se cargan con una batería de fem \Sigma=2.00\,\mathrm{V}. A continuación se desconectan de la batería y, manteniéndolos conectados entre sí, se rellena uno de ellos completamente con un dieléctrico de constante dieléctrica k.

¿Cuánto debe valer k para que la diferencia de potencial entre las placas de los condensadores sea la mitad del valor que tenía antes de introducir el dieléctrico?

  1. k = 2.00.
  2. k = 3.00.
  3. k = 5.00.
  4. k = 1.50

¿Cuanto vale la energía del sistema una vez que se ha introducido el dieléctrico?

  1. 8.00\,\mathrm{nJ}.
  2. 6.00\,\mathrm{nJ}.
  3. 12.00\,\mathrm{nJ}.
  4. 5.00\,\mathrm{nJ}.

2 Solución

2.1 Constante dieléctrica del dieléctrico

La respuesta correcta es la 2.

En el proceso de carga, al estar en paralelo, los condensadores se someten a la misma diferencia de potencial Σ. Cada uno de ellos adquiere una carga


Q_1 = Q_2 = C\,\Sigma

siendo C la capacidad de los condensadores.

Al desconectarlos, no cambia ni la carga ni la diferencia de potencial en los condensadores. Sin embargo, al introducir el dieléctrico, se produce un trasvase de carga entre los condensadores. Una vez introducido el dieléctrico y alcanzado el equilibrio electrostático la nueva carga en cada uno de ellos es Q1' y Q2'. La capacidad del condensador sin dieléctrico sigue siendo C, pero la del condensador con dieléctrico es ahora k\,C . Si ahora la diferencia de potencial entre las placas es Σ / 2, la nueva carga en cada condensador es


Q_1' = C\,\Sigma/2 \qquad\qquad Q_2'=kC\,\Sigma/2

Por otro lado, la carga se conserva, pues mientras se introduce el dieléctrico los condensadores están aislados. Entonces


Q_1+Q_2 = Q_1'+Q_2' \Longrightarrow
2\,C\,\Sigma = \dfrac{C\,\Sigma}{2} + \dfrac{kC\,\Sigma}{2}

Despejando obtenemos

k = 3.00


2.2 Energía en la situación final

La respuesta correcta es la 1.

En el estado final la diferencia de potencial en ambos condensadores es Σ / 2. Como tenemos la capacidad de cada uno de ellos, la energía es


U = \dfrac{1}{2}C\,\left(\dfrac{\Sigma}{2}\right)^2 +
\dfrac{1}{2}kC\,\left(\dfrac{\Sigma}{2}\right)^2
=
\dfrac{C\,\Sigma^2}{8}\,(1+k) = 8.00\,\mathrm{nJ}

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