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Conductores esféricos concéntricos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de dos conductores. Uno de ellos es una esfera metálica maciza de radio a. El otro es una fina corteza esférica metálica, de radio b, concéntrica con la anterior. Calcule el potencial en todos los puntos del espacio en los casos siguientes.
  1. La esfera interior se encuentra a potencial V1 y la exterior a potencial V2.
  2. La esfera interior almacena una carga Q1 y la exterior una carga Q2.
  3. La esfera interior almacenada una carga Q1 y la exterior se encuentra a un potencial V2.
  4. Calcule asimismo la energía almacenada en el sistema de dos esferas, para las tres situaciones indicadas.

2 Introducción

Este problema posee bastantes puntos en común con el de una sola esfera, en particular la simetría, por lo que se hará referencia a los resultados que allí se obtienen.

3 Caso de dos potenciales fijados

Cuando tenemos superficies conductoras cerradas, cuyos potenciales son conocidos, los problemas se desacoplan en varios independientes. Cada conductor funciona como una jaula de Faraday separando el problema interior del exterior.

En este caso, en que tenemos dos superficies esféricas concéntricas, el espacio se divide en tres regiones:

3.1 Región interior (r < a)

Tanto si se trata de una esfera maciza, como si es una superficie con una cavidad, el potencial en todos los puntos de la región interior es constante e igual a

\phi = V_1\,    (r<a)\,
  • Si se trata de un bloque macizo, porque el campo eléctrico en un material conductor en equilibrio electrostático es nulo y el potencial es, por tanto, uniforme.
  • Si se trata de una superficie esférica con una cavidad, porque en el interior de dicha cavidad se verifica la ecuación de Laplace, con la condición de contorno de que en todos los puntos de la frontera el potencial es igual a V1, y la solución es igualmente la anterior.

3.2 Región intermedia (a < r < b)

En el hueco entre las dos esferas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi = 0

con las condiciones de contorno

\phi = V_1\,    (r=a)\,        \phi = V_2\,    (r=b)\,

Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial r. En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma

\phi = A + \frac{B}{r}

Quedan por determinar las constantes A y B. Sustituyendo las condiciones de contorno

A + \frac{B}{a} = V_1    A + \frac{B}{b} = V_2

resultan las constantes y el potencial

A = \frac{V_2b-V_1a}{b-a}    B = \frac{(V_1-V_2)ab}{b-a}

y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial

\phi = \displaystyle\frac{V_2b-V_1a}{b-a}+\frac{(V_1-V_2)ab}{(b-a)r}\qquad (a < r < b)

3.3 Región exterior (r > b)

Fuera de la esfera grande tenemos de nuevo simetría esférica, por lo que el potencial exterior es también de la forma

\phi = M + \frac{N}{r}

siendo en este caso las condiciones de contorno

\phi = V_2\,\quad(r=b)        \phi\to 0\quad (r\to\infty)

Este problema es exactamente el mismo que en el caso de una sola esfera, y por tanto su solución es idéntica

\phi = \frac{V_2b}{r}\qquad (r>b)

En términos físicos, lo que ocurre es que el conductor exterior actúa como una jaula de Faraday, haciendo que desde fuera se ignore por completo la existencia del conductor interior.

3.4 Potencial en todo el espacio

Reuniendo los tres resultados anteriores, nos queda la expreisón para el potencial

\phi = \begin{cases}V_1 & r < a \\ & \\ \displaystyle\frac{V_2b-V_1a}{b-a}+\frac{(V_1-V_2)ab}{(b-a)r} & a < r < b \\
& \\ \displaystyle\frac{V_2b}{r} & b < r \end{cases}

3.5 Caso de dos cargas conocidas

Si lo que conocemos son las cargas Q1 y Q2 de los dos conductores esféricas, la manera de operar que menos errores produce consiste en:

  • Suponer ciertos potenciales V1 y V2,
  • Aplicar (o resolver, si no se conoce) la solución del apartado anterior
  • Hallar la relación entre las cargas y los voltajes en este sistema (a través de los coeficientes de capacidad).
  • Calcular los voltajes en función de las cargas
  • Sustituir los valores calculados en la expresión del potencial

En muchos casos existen atajos, si uno “ve” la solución, pero el procedimiento anterior es mucho más seguro.

3.6 Cálculo de las cargas

Suponemos entonces que la esfera interior se encuentra a un cierto potencial V1 y la corteza a un potencial V2, por lo que la expresión para el potencial es la que dimos anteriormente.

Se trata de hallar ahora la carga de cada conductor. La forma más sencilla en este caso consiste en identificar forma de la solución.

En la zona intermedia entre los conductores, el potencial es de la forma

\phi = A + \frac{B}{r}

que es el potencial debido a una carga puntual (más una constante, que no produce campo alguno). Identificando esta expresión con

\phi = k+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}

obtenemos la carga

q = 4\pi\varepsilon_0 B

Esta carga es la interior a la distancia que estemos considerando. Puesto que estamos entre la esfera y la corteza, esta carga es la de la esfera maciza, esto es

Q_1 = 4\pi\varepsilon_0 B = \frac{4\pi\varepsilon_0ab(V_1-V_2)}{b-a}

Si ahora consideramos el exterior de la corteza esférica, el razonamiento es completamente análogo, salvo que ahora la carga interior es la contenida por ambos conductores

Q_1+Q_2 = 4\pi\varepsilon_0 N = 4\pi\varepsilon_0bV_2

o, dicho de otra forma, desde fuerza detectamos una carga total Q1 + Q2, pero ignoramos cómo está distribuida en el interior.

Despejando de las dos relaciones anteriores, obtenemos los potenciales de las esferas en función de las cargas

V_2 = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}        V_1 = \frac{(b-a)Q_1}{4\pi\varepsilon_0 ab}+ V_2 = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}

o, en forma matricial

\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 }\begin{pmatrix}1/a & 1/b \\ 1/b & 1/b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}

Del mismo modo podemos hallar las cargas a partir de los potenciales

Q_1 = 4\pi\varepsilon_0 B = \frac{4\pi\varepsilon_0ab(V_1-V_2)}{b-a}        

Q_2 =  4\pi\varepsilon_0bV_2 - Q_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0b(bV_2-aV_1)}{b-a}

En forma matricial,

\mathbf{Q}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{V}        \begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix} = \frac{4\pi\varepsilon_0b}{b-a}\begin{pmatrix}a & -a \\ -a & b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix}

Aquí \mathbf{C}

\mathbf{C} = \frac{4\pi\varepsilon_0b}{b-a}\begin{pmatrix}a & -a \\ -a & b\end{pmatrix}

es la matriz de coeficientes de capacidad e inducción. Esta matriz debe ser simétrica, con diagonal estrictamente positiva, y con elementos no diagonales negativos o nulos. Todas estas propiedades se cumplen para la matriz anterior.

3.7 Potencial en función de las cargas

Sustituyendo ahora los valores de los voltajes en función de las cargas, para el potencial en todos los puntos del espacio, nos queda

\phi = \begin{cases}\displaystyle \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0b} & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0b} & a < r < b \\
& \\ \displaystyle \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0r} & b < r \end{cases}

que, por supuesto, coincide con el potencial debido a dos superficies concéntricas cargadas uniformemente.

4 Caso de una carga y un potencial conocidos

Las ecuaciones que ligan las cargas y los potenciales se pueden usar para despejar cualesquiera dos potenciales conocidos dos datos. En este apartado lo que conocemos son Q1 y V2. Podemos calcular V1 despejando en

Q_1 = \frac{4\pi\varepsilon_0ab(V_1-V_2)}{b-a}

y queda

V_1 = V_2+\frac{(b-a)Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a b}

resultado que podemos sustituir en la expresión del potencial.

También podemos llegar a este resultado empleando razonamientos más físicos.

Consideremos primero el exterior de la corteza. Puesto que ésta actúa como una jaula de Faraday, al estar a potencial constante, el potencial exterior es el mismo que si no hubiera nada en el interior

\phi= \frac{V_2b}{r}\qquad (r>b)

En la región intermedia vemos una esfera cargada uniformemente, pero, puesto que esta región no se extiende hasta el infinito, no podemos imponer que el potencial se anule en el infinito, por lo que nos queda un potencial de la forma

\phi = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r}+k\qquad (a<r<b)

La constante k la sacamos de que el potencial de la corteza es conocido y vale V2

V_2 = \phi(r=b) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 b}+k   \Rightarrow    k = V_2 - \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 b}


\phi = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)+V_2\qquad(a<r<b)

y en el interior de la esfera maciza el potencial es el mismo que en su superficie

V_1 = \phi(r<a) = \phi(r=a) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)+V_2\qquad (r<a)

Reuniendo los tres resultados

\phi = \begin{cases}\displaystyle \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)+V_2 & r < a \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 }\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)+V_2 & a < r < b \\
& \\ \displaystyle \frac{V_2b}{r} & b < r \end{cases}

5 Energía del sistema

La energía de un sistema de conductores, en ausencia de cargas externas, es

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i = \frac{1}{2}\sum_{i,k}C_{ik}V_i V_k

o, en forma matricial

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}^T\cdot\mathbf{V} = \frac{1}{2}\mathbf{V}^T\cdot\mathbf{C}\cdot\mathbf{V}=\frac{1}{2}\mathbf{Q}^T\cdot\mathbf{C}^{-1}\cdot\mathbf{Q}

5.1 Caso de potenciales conocidos

Si nuestros datos son V1 y V2, la energía es

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\,\frac{4\pi\varepsilon_0 b}{b-a}\begin{pmatrix}V_1 & V_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & -a \\ -a & b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\frac{4\pi\varepsilon_0 b}{b-a}\left(aV_1^2-2aV_1V_2+b^2V_2^2\right)

Agrupando términos

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\,\left(\frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}\left(V_1-V_2\right)^2+4\pi\varepsilon_0 b V_2^2\right)

que es fácilmente reconocible como la energía de dos condensadores.

5.2 Caso de cargas conocidas

El procedimiento es análogo si lo que tenemos son las cargas

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\mathbf{Q}^T\cdot\mathbf{C}^{-1}\cdot\mathbf{Q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\begin{pmatrix}Q_1 & Q_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1/a & 1/b \\ 1/b & 1/b\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1^2}{a}+\frac{2Q_1Q_2}{b}+\frac{Q_2^2}{b}\right)

Agrupando términos

U_\mathrm{e} = \frac{(b-a)Q_1^2}{8\pi\varepsilon_0ab} +\frac{(Q_2+Q_1)^2}{8\pi\varepsilon_0b}

que se puede leer de nuevo como suma de la energía almacenada en dos condensadores.

5.3 Caso de una carga y de un voltaje conocidos

Si lo que tenemos es una carga y un potencial, lo que precisamos es una expresión mixta. En el sumatorio

U_e = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2

sustituimos la expresión de V1 y Q2 en función de Q1 y V2 que calculamos antes

V_1 = \frac{(b-a)Q_1}{4\pi\varepsilon_0 ab} + V_2        Q_2 = 4\pi\varepsilon_0 b V_2 - Q_1
U_e = \frac{1}{2}Q_1\left(\frac{(b-a)Q_1}{4\pi\varepsilon_0 ab} + V_2\right) + \frac{1}{2}\left(4\pi\varepsilon_0 b V_2 - Q_1\right)V_2= \frac{(b-a)Q_1^2}{8\pi\varepsilon_0 ab}+2\pi\varepsilon_0V_2^2

6 Empleando un circuito equivalente

El cálculo de las cargas acumuladas en las dos superficies esféricas y el de la energía almacenada pueden realizarse de forma alternativa empleando un circuito equivalente.

Este circuito consta de los siguientes elementos

*Dos nodos, uno por cada esfera
\overline{C}_{12}=\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}
  • Un condensador \overline{C}_{22} entre el nodo 2 y tierra, que representa el campo exterior a la esfera mayor. Esta autocapacidad viene dada por la capacidad de una esfera o, equivalentemente, por un condensador esférico entre la esfera exterior y el infinito:
\overline{C}_{22}=4\pi\varepsilon_0b


Además de estos nodos y condensadores hay que colocar las fuentes de tensión o de carga. Estas dependerán de los datos del problema.

6.1 Caso de tensiones fijadas

Si, como en el primer apartado lo que conocemos son las tensiones V1 y V2 a las que se encuentran las dos esferas, completamos el circuito equivalente añadiendo dos fuentes de tensión conectadas a los nodos.

6.1.1 Carga almacenada

La carga de cada esfera la obtenemos sumando la carga almacenada en los condensadores conectados a cada nodo. Para el nodo 1 tenemos

Q_1 = \overline{C}_{12}(V_1-V_2) = \frac{4\pi\varepsilon_0ab(V_1-V_2)}{b-a}

y para el nodo 2

Q_2 = \overline{C}_{22}V_2+\overline{C}_{12}(V_2-V_1) = 4\pi\varepsilon_0b V_2 + \frac{4\pi\varepsilon_0ab(V_2-V_1)}{b-a} = 
\frac{4\pi\varepsilon_0b(bV_2-aV_1))}{b-a}

6.1.2 Energía almacenada

La energía electrostática almacenada en el sistema de conductores es igual a la suma de las energías almacenadas en cada uno de los condensadores del circuito equivalente:

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\overline{C}_{22}V_2^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2=
2\pi\varepsilon_0b V_2^2 + \frac{2\pi\varepsilon_0ab(V_1-V_2)^2}{b-a} = \frac{2\pi\varepsilon_0b}{b-a}\left(aV_1^2 -2aV_1V_2+bV_2^2\right)

6.2 Caso de cargas fijadas

En el caso del segundo apartado lo que conocemos son las cargas Q1 y Q2 depositadas en cada esfera, para completar el circuito equivalente introducimos dos fuentes de carga. Estas fuentes simplemente indican que dichos conductores no están descargados, que es lo que parecería si no las incluyéramos.

6.2.1 Potencial de cada nodo

Para hallar el potencial observamos que la carga Q1 es la que se encuentra en una de las placas del condensador \overline{C}_{12}. La carga Q2 se reparte entre los dos condensadores conectados al nodo 2. Una cantidad Q1 irá al condensador \overline{C}_{12} y el resto, Q2 + Q1 irá al \overline{C}_{22}.

Imagen:CircuitodosesferasQ2s.png

Por tanto el potencial del nodo 2 será

V_2 = \frac{Q_1+Q_2}{\overline{C}_{22}} = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\varepsilon_0b}

Conocido este potencial tenemos la tensión del nodo 1

V_1 - V_2 =\frac{Q_1}{\overline{C}_{12}}   \Rightarrow   V_1 = Q_1\left(\frac{1}{\overline{C}_{12}}+\frac{1}{\overline{C}_{22}}\right)+\frac{Q_2}{\overline{C}_{22}} = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}+\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0b}

6.2.2 Energía almacenada

La energía electrostática almacenada en el sistema de conductores es igual a la suma de las energías almacenadas en cada uno de los condensadores del circuito equivalente:

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_1^2}{\overline{C}_{12}}+\frac{1}{2}\,\frac{(Q_1+Q_2)^2}{\overline{C}_{22}}=
 \frac{bQ_1^2+2aQ_1Q_2+aQ_2^2}{8\pi\varepsilon_0ab}

6.3 Caso de Q1 y V2 conocidos

Supongamos ahora que, como en el tercer apartado lo que conocemos es las cargas Q1 de la esfera interior y la tensión V2 de la esfera exterior. Debemos añadir ahora una fuente de tensión y una de carga.

6.3.1 Cálculo de Q2 y V1

La carga del conductor 2 la obtenemos sumando las cargas de los condensadores conectados al nodo 2. Estas cargas valen Q1 en el condensador \overline{C}_{12} y \overline{C}_{22}V_2 en el otro, así que

Q_2 = -Q_1 + \overline{C}_{22}V_2 = -Q_1+4\pi\varepsilon_0bV_2

La tensión en el nodo 1 la obtenemos de la carga almacenada en el condensador \overline{C}_{12}

V_1-V_2 = \frac{Q_1}{\overline{C}_{12}}   \Rightarrow   V_1 = V_2+ \frac{Q_1}{\overline{C}_{12}} = V_2+\frac{(b-a)Q_1}{4\pi\varepsilon_0ab}

6.3.2 Energía almacenada

La energía electrostática almacenada en el sistema de conductores es igual a la suma de las energías almacenadas en cada uno de los condensadores del circuito equivalente:

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_1^2}{\overline{C}_{12}}+\frac{1}{2}\,\overline{C}_{22}V_2^2=
\frac{(b-a)Q_1^2}{8\pi\varepsilon_0ab}+2\pi\varepsilon_0V_2^2

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