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Conductor que se desplaza sobre otro

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de un material de conductividad \sigma\, y sección A\,. Uno de los conductores ("1") es fijo, mientras que el segundo ("2") puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores definen un rectángulo de base a\, y altura b\,, siendo x = 0, y = 0 la esquina del conductor fijo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que
a = x_0+v_x t\qquad b=y_0+v_y t

Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme \mathbf{B}=Cxy\mathbf{u}_{z}, perpendicular al plano de los conductores.

  1. Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinducción.
  2. Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil.

2 Cálculo de la corriente

La corriente la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday en forma integral

IR = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

siendo \Phi_m\, el flujo magnético a través de una superficie apoyada en la espira.

La espira está definida por el rectángulo de lados a e b, ya que la corriente fluye por sus cuatro lados, pasando de una varilla a la otra en los puntos de contacto. Por los tramos restantes de ambas varillas no circula corriente, por estar abiertas.

Recorremos esta espira en sentido antihorario de forma que la normal vaya en la dirección y sentido de \mathbf{u}_{z}, que es el sentido del campo. De este modo el flujo es una cantidad positiva.

Al no ser el campo magnético uniforme, el flujo debe hallarse calculando la integral

\Phi_m = \int \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^b\int_0^a
A x y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{Ca^2b^2}{4}=\frac{C\left(x_0+ v_x t\right)^2\left(y_0
+ v_yt\right)^2}{4}

La fuerza electromotriz en el circuito es la derivada de esta cantidad, cambiada de signo:

\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t} = -\frac{C\left(x_0+ v_x t\right)\left(y_0
+ v_yt\right)\left(v_x(y_0+v_yt)+v_y(x+v_0t)\right)}{2}

Esta fuerza electromotriz es igual a IR\, donde R\, es la resistencia de la espira. Esta resistencia cambia en el tiempo, ya que las dimensiones de la espira se van modificando. Será igual a

R(t) = \frac{l}{\sigma A} = \frac{2(a+b)}{\sigma A}

siendo A la sección del hilo y \sigma\, su conductividad. l=2(a+b)\, es el perímetro del rectángulo.

Sustituyendo obtenemos la corriente

I=\frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{C\sigma A\left(x_0+ v_x t\right)\left(y_0
+ v_yt\right)\left(v_x(y_0+v_yt)+v_y(x+v_0t)\right)}{4\left(x_0+ y_0+v_x t+v_yt\right)}

El sentido asignado a esta corriente, tal como se indicó antes, es antihorario. Dependiendo del signo de $I$ (que a su vez depende de hacia dónde se mueve la varilla) el sentido real de la corriente será el supuesto o el opuesto.

3 Cálculo de la fuerza

La fuerza sobre una corriente es, de acuerdo con la ley de Lorentz

\mathbf{F} = I \oint \mathrm{d}\mathbf{r}\times \mathbf{B}

En este caso, sin embargo, no se trata de la fuerza sobre la espira completa, sino de la fuerza sobre la espira móvil, por lo que sólo debemos considerar dos lados del rectángulo.

La integral se compone de dos tramos rectos. En el tramo vertical

\mathbf{F}_1 = I\int_0^b (\mathrm{d}y\mathbf{u}_{y})\times (Cay\mathbf{u}_{z}) = \frac{CIab^2}{2}\mathbf{u}_{x}

Nótese que en la expresión del campo, dependiente de la posición podemos sustituir el valor de x antes de integrar, pero no el de y, que es respecto al que integramos. También que en la expresión final no deben aparecer x e y, sino las dimensiones de la espira.

En el tramo horizontal (obsérvense los límites de integración)

\mathbf{F}_2 = I \int_a^0 (\mathrm{d}x\mathbf{u}_{x})\times (Cxb\mathbf{u}_{z}) = \frac{Ca^2b}{2}\mathbf{u}_{y}

de modo que la fuerza total es

\mathbf{F} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 = \frac{CIab}{2}(b\mathbf{u}_{x}+a\mathbf{u}_{y})

Como observación, nótese que esta fuerza no es siempre opuesta a la velocidad, como ocurre en el caso de una sola varilla rectilínea. Aun habiendo sólo componente vx, por ejemplo, la fuerza resultante tiene tanto componente x\, como y\,.

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