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Condensador relleno de un medio estratificado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de este tipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. La permitividad del material varía de \varepsilon_1 a \varepsilon_2 en la forma

\varepsilon(z)=
\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2a}{\varepsilon_1z+\varepsilon_2(a-z)}

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

  1. ¿Cuánto valen los campos \mathbf{D}, \mathbf{E} y \mathbf{P} en todos los puntos del material?
  2. ¿Cuál es la densidad de carga de polarización (tanto superficial como de volumen)?
  3. Halle la energía almacenada en el sistema

Desprecie los efectos de borde.

2 Cálculo de los campos

Por tratarse de una situación electrostática y no haber carga libre en el dieléctrico, por ser este ideal, se cumple

\nabla\times\mathbf{D}=\rho_l=0        \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}        \mathbf{D}=\varepsilon(z) \mathbf{E}

Si suponemos despreciables los efectos de borde y admitimos que los campos van en línea recta de una placa a la otra, escribimos el campo eléctrico y el vector desplazamiento como

\mathbf{E}=E\mathbf{u}_z\qquad\qquad\mathbf{D}=D\mathbf{u}_z

lo cual sustituyendo en las ecuaciones de la electrostática nos da, para la ley de Gauss

0 = \nabla\cdot\mathbf{D} = 0 + 0 + \frac{\partial D}{\partial z}

y para la irrotacionalidad del campo eléctrico

\mathbf{0}=\nabla\times\mathbf{E}=\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ & & \\ 0 & 0 & E\end{matrix}\right| = \frac{\partial E}{\partial y}\mathbf{u}_x - \frac{\partial E}{\partial x} \mathbf{u}_y

puesto que un vector se anula cuando se anulan sus componentes, este sistema equivale a las ecuaciones

\frac{\partial E}{\partial z} = 0 \qquad \frac{\partial E}{\partial y} = 0 \qquad \frac{\partial D}{\partial z} = 0

Tenemos que el campo eléctrico no depende de las coordenadas transversales, mientra que el desplazamiento no depende de la coordenada normal a las placas. Sin embargo, ¿depende el campo eléctrico de z? ¿Depende D de x e y? Para eso precisamos la relación constitutiva. Si derivamos el campo eléctrico respecto a z obtenemos

\frac{\partial E}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{D}{\varepsilon(z)}\right) = \frac{1}{\varepsilon}\overbrace{\frac{\partial D}{\partial z}}^{=0}-\frac{D}{\varepsilon^2}\overbrace{\frac{\partial \varepsilon}{\partial z}}^{\neq 0}\neq 0

Esto es, en este sistema, el campo eléctrico no es uniforme entre las placas, sino que depende de la coordenada normal.

El vector desplazamiento, en cambio, sí que es uniforme. Ya sabemos que no depende de z. Es fácil ver que tampoco depende ni de x

\frac{\partial D}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\varepsilon(z)E\right) = \varepsilon\overbrace{\frac{\partial E}{\partial x}}^{=0}+E\overbrace{\frac{\partial \varepsilon}{\partial x}}^{=0}= 0

ni, análogamente, de y. Por tanto, podemos escribir

\mathbf{D}=D_0\mathbf{u}_z\qquad\qquad \mathbf{E}=\frac{D_0}{\varepsilon(z)}\mathbf{u}_z

siendo D0 una constante a determinar.

El valor de D0 lo obtenemos a partir de la diferencia de potencial entre las placas

V_0 = \int_0^a E\,\mathrm{d}z = D_0\int_0^a\frac{\mathrm{d}z}{\varepsilon(z)}

Sustituyendo el valor de la permitividad

V_0 = D_0\int_0^a \frac{\varepsilon_1z+\varepsilon_2(a-z)}{\varepsilon_1\varepsilon_2a}\,\mathrm{d}z = \frac{D_0(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}{2a\varepsilon_1\varepsilon_2}

y de aquí llegamos a

D_0=\frac{2\varepsilon_1\varepsilon_2 V_0}{a(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}

resultando el vector desplazamiento

\mathbf{D} = \frac{2\varepsilon_1\varepsilon_2 a V_0}{a(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}\mathbf{u}_z

el campo eléctrico

\mathbf{E} = \frac{2(\varepsilon_1z+\varepsilon_2(a-z)) V_0}{a^2(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}\mathbf{u}_z

y el vector polarización

\mathbf{P}=\mathbf{D}-\varepsilon_0\mathbf{E}=\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon(z)}\right)D_0\mathbf{u}_z

3 Densidades de carga

3.1 Volumétrica

La densidad de carga de volumen la obtenemos a partir de la divergencia de la polarización

\rho_p = -\nabla\cdot\mathbf{P}

sustituyendo la expresión del vector polarización

\rho_p = \varepsilon_0D_0\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}z}\left(\frac{1}{\varepsilon(z)}\right)=\frac{\varepsilon_0D_0(\varepsilon_1-\varepsilon_2)}{a\varepsilon_1\varepsilon_2}

3.2 Superficial

LKa densidad superficial de carga de polarización se calcula a partir del salto en la polarización en las superficies de discontinuidad, que en este caso son las superficies inferior y superior del dieléctrico.

En z = 0
\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\mathbf{u}_z\cdot(P(z=0)\mathbf{u}_z-\mathbf{0}) = -\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon(z=0)}\right)D_0=-\left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1}\right)D_0
En z = a
\sigma_p = -\mathbf{n}\cdot[\mathbf{P}] = -\mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-P(z=a)\mathbf{u}_z) = \left(1-\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_2}\right)D_0

4 Energía almacenada

Por tratarse de un dieléctrico lineal, la energía puede calcularse a partir de los campos como

U_\mathrm{e}=\int_\tau \frac{1}{2}\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,\mathrm{d}\tau

y, teniendo en cuenta que el vector desplazamiento es uniforme en el espacio entre las placas

U_\mathrm{e}=\frac{SD_0^2}{2}\int_0^a\frac{1}{\varepsilon(z)}\,\mathrm{d}z = \frac{SD_0^2a(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}{4\varepsilon_1\varepsilon_2}

5 Uso de un circuito equivalente

Este problema puede también resolverse con ayuda de un circuito equivalente, especialmente si no estamos tan interesados en lo que ocurre en el interior del sistema, sino solo en cantidades medibles desde el exterior, como la carga libre en las placas o la energía total almacenada.

Un medio estratificado como éste es una generalización del condensador con dos capas de dieléctrico. Como en ese caso, el vector desplazamiento es uniforme en el espacio entre las placas y el sistema se conserva como una asociación en serie de condensadores, de forma que

\frac{1}{C_\mathrm{eq}} = \sum_i \frac{1}{C_i} =\sum_i \frac{\Delta z}{\varepsilon(z)S} \to \int_0^a \frac{\mathrm{d}z}{\varepsilon(z)S}

A partir de la capacidad equivalente, es inmediato hallar la carga almacenada en las placas o la energía almacenada en el condensador.

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