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Condensador esférico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Halle la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b).

Imagen:condensadoresferico.png

2 Caso general

Suponemos la superficie interior a potencial V0 y la exterior a tierra.

En el hueco entre las dos superficies esféricas no hay carga intermedia, por lo que se verifica la ecuación de Laplace

\nabla^2\phi = 0

con las condiciones de contorno

\phi = V_0\,    (r=a)\,        \phi = 0\,    (r=b)\,

Por la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial depende exclusivamente de la coordenada radial r. En este caso, la solución de la ecuación de Laplace es de la forma

\phi = A + \frac{B}{r}

Quedan por determinar las constantes A y B. Sustituyendo las condiciones de contorno

A + \frac{B}{a} = V_0    A + \frac{B}{b} = 0

resultan las constantes y el potencial

A = -\frac{V_0a}{b-a}    B = \frac{V_0ab}{b-a}

y sustituyendo las constantes en la expresión del potencial

\phi = \displaystyle\frac{V_0ab}{b-a}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{b}\right)\qquad (a < r < b)
Una vez que tenemos el potencial hallamos el campo eléctrico
\mathbf{E}=-\nabla\phi =-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\mathbf{u}_r = \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}\mathbf{u}_r

La carga en la esfera a mayor potencial (la interior) la calculamos por aplicación de la ley de Gauss. Si tomamos una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera interior

Q_1 = \varepsilon_0 \oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \varepsilon_0 \int \frac{V_0ab}{(b-a)r^2}r^2\,\mathrm{d}\Omega =  \frac{4\pi\varepsilon_0V_0ab}{(b-a)}

ya que para una superficie esférica \mathrm{d}\mathbf{S} = r^2\,\mathrm{d}\Omega\,\mathbf{u}_r y el ángulo sólido total Ω = 4π.

La capacidad del condensador esférico la obtenemos como el cociente entre la carga y la diferencia de potencial

C = \frac{Q_1}{V_1-V_2} = \frac{Q_1}{V_0}=\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}

3 El límite de radio exterior infinito

Un límite de interés del resultado anterior es el límite en que b\to\infty. En este límite

\lim_{b\to\infty}C = \lim_{b\to\infty}\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a} = 4\pi\varepsilon_0a

Esta es la capacidad de una esfera en ausencia de otros conductores. Por ello, podemos entender el caso de una esfera conductora, como un condensador esférico una de cuyas placas (la de tierra) se encuentra en el infinito.

4 El caso de dos radios muy próximos

Consideremos ahora el caso de un condensador esférico formado por dos superficies de radios a y b, muy próximos entre sí, de forma que

b = a+\delta\qquad \qquad \delta\ll a

En este caso la capacidad del condensador esférico se puede expresar como

C = \frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}=\frac{4\pi\varepsilon_0a(a+\delta)}{\delta}

Despreciando δ frente a a

C \simeq \frac{4\pi\varepsilon_0a^2}{\delta}=\frac{\varepsilon_0S}{\delta}

ya que S = 4πa2 es el área de una superficie esférica. Esta es la expresión de la capacidad para un condensador plano. Cuando la diferencia entre radios es mucho menor que los radios, pueden despreciarse los efectos de curvatura.

4.1 Un ejemplo: la superficie terrestre y la ionosfera

Para el condensador formado por la superficie terrestre (aproximadamente de radio 6400 km) y la ionosfera (situada a unos 100 km sobre ella) la capacidad calculada empleando la fórmula del condensador esférico da

C = \frac{1}{9\times 10^9}\,\frac{(6.4\times 10^6)(6.5\times 10^6)}{10^5}\,\mathrm{F} = 46.2\,\mathrm{mF}

y usando la fórmula del condensador plano

C = \frac{1}{9\times 10^9}\,\frac{(6.4\times 10^6)(6.4\times 10^6)}{10^5}\,\mathrm{F} = 45.6\,\mathrm{mF}

siendo el error cometido del 1.5%, que es mucho menor que la incertidumbre que se tiene respecto a la altura de la ionosfera.

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