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Comparación de un proceso isotérmico y uno adiabático

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un gas ideal monoatómico ocupa un volumen de 4\,\mathrm{m^3} a la presión de 8\,\mathrm{atm} y a la temperatura de 400\,\mathrm{K}. El gas se expande hasta la presión final de 1\,\mathrm{atm} mediante un proceso cuasiestático. Calcule el trabajo realizado, el calor absorbido y la variación de energía interna en los siguientes casos:

  1. Expansión isoterma.
  2. Expansión adiabática.

2 Solución

2.1 Expansión isoterma

La energía interna de un gas ideal sólo depende de su temperatura. Al ser un proceso isotermo, ésta no cambia. Por tanto

ΔU = 0

Para calcular el trabajo realizado utilizamos la ecuación de estado para expresar la presión en función del volumen


W=-\int\limits_{1}^2P\mathrm{d}V=-\int\limits_{1}^2nRT\frac{\mathrm{d}V}{V}=
-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}=nRT\ln\frac{P_2}{P_1}=P_1V_1\ln\frac{P_2}{P_1}=
-6.74\,\mathrm{MJ}

Hemos usado la ley de Boyle para expresar el resultado en función del cociente de presiones, y la ecuación del gas ideal para sustituir nRT por P1V1. El trabajo es negativo, pues al expandirse el gas realiza trabajo sobre el recipiente que le contiene.

Como la variación de energía interna es nula, el calor absorbido por el gas es


Q=-W=-P_1V_1\ln\frac{P_2}{P_1}=6.74\,\mathrm{MJ}

2.2 Expansión adiabática

En este caso el calor absorbido por el gas es cero:

Q = 0

Podemos expresar la variación de energía interna en función de la diferencia de temperaturas entre los estados inicial y final

ΔU = ncv(T2T1)

Aqui, cv es el calor específico molar a volumen constante. Para un gas ideal monoatómico tenemos cv = 3R / 2. Nos falta encontrar la temperatura en el estado final. Para ello usamos la ecuación de Poisson


PV^{\gamma}=C\Longrightarrow P^{1-\gamma}T^{\gamma}=C\Longrightarrow
P_1^{1-\gamma}T_1^{\gamma}=P_2^{1-\gamma}T_2^{\gamma}\Longrightarrow
T_2=T_1\left(\frac{\displaystyle P_1}{\displaystyle P_2}\right)^{\frac{1}{\gamma}-1}=
T_1\left(\frac{\displaystyle P_2}{\displaystyle P_1}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}

Por tanto, la variación de energía interna es


\Delta U=\frac{3}{2}nRT_1\left( \left(\frac{\displaystyle P_2}{\displaystyle P_1}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}-1 \right)=
\frac{3}{2}P_1V_1\left( \left(\frac{\displaystyle P_2}{\displaystyle P_1}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}-1 \right)=
-2.74\,\mathrm{MJ}

Hemos usado que en un gas monoatómico γ = 5 / 3. El trabajo que realiza el gas es


W=\Delta U = -2.74\,\mathrm{MJ}

2.3 Comparación de los dos procesos

Podemos observar que el trabajo realizado por el gas en el proceso adiabático es menor que el que realiza en el proceso isotermo. Esto puede comprobarse también en el diagrama PV de la figura. En un punto del diagrama, la pendiente de la adiabática es siempre mayor que la de la isoterma. Entonces, al hacer la expansión, la adiabática se queda a la derecha de la isoterma, y por tanto, el área debajo de la adiabática es menor que debajo de la isoterma.

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