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Colisión parcialmente inelástica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m1 y que se mueve con velocidad v0 impacta frontalmente con una de masa m2 que se encuentra en reposo. El coeficiente de restitución vale CR = 0.5

  1. Halle las velocidades finales de las dos partículas
  2. Calcule la cantidad de energía cinética disipada en el proceso.
  3. ¿A qué tienden los resultados anteriores si m_1\gg m_2? ¿Y si m_2\gg m_1?

2 Velocidades finales

Las velocidades finales las obtenemos de dos ecuaciones:

La conservación de la cantidad de movimiento
Suponiendo que tras el choque ambas partículas se mueven sobre la recta por la que venía el proyectil inicial, esta ley nos da
m_1v_0 = m_1v_{1f}+m_2v_{2f}\,
El coeficiente de restitución es conocido
Este coeficiente relaciona la velocidad relativa de alejamiento con la de acercamiento
C_R=\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}\qquad\Rightarrow\qquad v_{2f}-v_{1f}=C_Rv_0

Estos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, con solución general

v_{1f}=\frac{m_1-C_Rm_2}{m_1+m_2}v_0\qquad v_{2f}=\frac{(1+C_R)m_1}{m_1+m_2}v_0

Esta fórmula es general y vale también para colisiones elásticas (CR = 1) y completamente inelásticas (CR = 0).

En el caso del enunciado en el que CR = 1 / 2 queda

v_{1f}=\frac{2m_1-m_2}{2(m_1+m_2)}v_0\qquad v_{2f}=\frac{3m_1}{2(m_1+m_2)}v_0

3 Disipación de energía cinética

Como resultado de la colisión las partículas modifican su energía cinética. El proyectil pierde energía y el blanco la gana. El balance neto lo da la suma de los dos incrementos.

3.1 Variación para el proyectil

El incremento (que será negativo) de la energía cinética del proyectil es

\Delta K_1 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2-\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 = \frac{m_1v_0^2}{2}\left(\left(\frac{2m_1-m_2}{2(m_1+m_2)}\right)^2-1\right)= -\frac{3m_1m_2(4m_1+m_2)v_0^2}{8(m_1+m_2)^2}

3.2 Variación para el blanco

Operando igualmente para la masa 2

\Delta K_2 = \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2-\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{m_2v_0^2}{2}\left(\frac{3m_1}{2(m_1+m_2)}\right)^2=\frac{9m_1^2m_2v_0^2}{8(m1+m2)^2}

3.3 Balance neto

Sumando los dos incrementos queda la variación neta

\Delta K = \Delta K_1+\Delta K_2 = -\frac{3m_1m_2v_0^2}{8(m_1+m_2)}

En comparación con la energía cinética inicial, la disipación de energía es igual a

\frac{\Delta K}{K_0}=-\frac{3m_2}{4(m_1+m_2)}

4 Límite de los resultados

4.1 Proyectil pesado

Cuando el proyectil es mucho más pesado que el blanco (m_1\gg m_2), en las expresiones se puede despreciar m2 comparado con m1 en las sumas o restas, lo que reduce los resultados a

v_{1f}\to v_0\qquad v_{2f}\to\frac{3}{2}v_0

esto es, el proyectil sigue con la misma velocidad que llevaba, mientras que el blanco se aleja con un 50% más de velocidad (frente al doble de velocidad, con el que sale en el caso elástico).

Las variaciones de energía cinética en este límite son

\Delta K_1 \to -\frac{3m_2v_0^2}{2}\qquad \qquad \Delta K_2 \to \frac{9m_2v_0^2}{8}\qquad \Delta K \to -\frac{3m_2v_0^2}{8}

Obsérvese que aunque la velocidad del proyectil disminuye una cantidad despreciable, su energía cinética disminuye una cantidad finita.

En proporción

\frac{|\Delta K_2|}{|\Delta K_1|}=\frac{3}{4}\qquad\qquad \frac{|\Delta K|}{|\Delta K_1|}=\frac{1}{4}

esto es, de lo que disminuye la energía cinética del proyectil, un 75% se va en aumento de la energía cinética del blanco y un 25% se pierde (usualmente en forma de calor).

4.2 Blanco pesado

Cuando el proyectil es mucho más ligero que el blanco (m_1\ll m_2), en las expresiones se puede despreciar m1 comparado con m2 en las sumas o restas, lo que reduce los resultados a

v_{1f}\to -\frac{v_0}{2}\qquad v_{2f}\to0

esto es, el proyectil rebota con la mitad de la velocidad con la que impactó, mientras que el blanco masivo permanece en reposo. Este es el ejemplo típico de una pelota no completamente elástica que rebota con el suelo

Las variaciones de energía cinética en este límite son

\Delta K_1 \to -\frac{3m_1v_0^2}{8}\qquad \qquad \Delta K_2 \to 0\qquad\qquad \Delta K \to -\frac{3m_1v_0^2}{8}

En proporción

\frac{|\Delta K_2|}{|\Delta K_1|}=0\qquad\qquad \frac{|\Delta K|}{|\Delta K_1|}=1

esto es, todo lo que disminuye la energía cinética del proyectil se pierde en la colisión. La energía perdida, según el resultado del primer apartado, es el 75% de la energía cinética inicial.

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