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Colisión inelástica en el plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un neutrón de masa m que se mueve con velocidad v_0\vec{\imath} choca con un protón (de casi la misma masa), que se mueve con velocidad v_0(\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}). La colisión es completamente inelástica, de forma que tras ella, las dos partículas se mueven solidariamente como un núcleo de deuterio. La colisión se produce en el origen de coordenadas.

  1. ¿Cuál es la velocidad final de la nueva partícula formada? ¿Qué ángulo forma con el eje OX?
  2. ¿Cuánta energía se pierde en la colisión? ¿Para qué valores de θ es máxima o mínima esta energía perdida?

2 Velocidad final

Cuando la colisión es completamente inelástica, las dos partículas se fusionan en una, de masa la suma de las iniciales. La velocidad final se obtiene a partir de la conservación de la cantidad de movimiento.

m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 = (m_1+m_2)\vec{v}_f

En este caso, que las dos partículas tienen la misma masa, la velocidad final es simplemente

\vec{v}_f=\frac{\vec{v}_1+\vec{v}_2}{2}

Sustituyendo los valores del enunciado

\vec{v}_f = v_0\left(\frac{1+\cos(\theta)}{2}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{sen}(\theta)}{2}\vec{\jmath}\right)

Usando las relaciones trigonométricas del ángulo mitad esto se puede escribir

\vec{v}_f = v_0\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}

y sacando factor común

\vec{v}_f = v_0\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}\right)

Puesto que el factor final es un vector unitario, esto nos dice que tras la colisión, la rapidez es

\left|\vec{v}_f\right| = v_0\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

y el vector tangente

\vec{T}=\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}

que nos dice que la velocidad resultante va en la dirección de la bisectriz de las dos velocidades iniciales.

Archivo:deuterio.png

3 Balance energético

La energía cinética inicial es la suma de las de las dos partículas

K_i = \frac{1}{2}mv_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2 = mv_0^2

y la final es la del deuterio, de masa doble.

K_f = \frac{1}{2}(2m)\left|\vec{v}_f\right|^2 = mv_0^2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)

El incremento en la energía cinética es la diferencia entre estas cantidades

\Delta K = K_f - K_i = mv_0^2\left(\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)=-mv_0^2\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)

Esta cantidad es siempre negativa, es decir, siempre se pierde energía.

La máxima pérdida de energía se da cuando θ = π, para el cual se pierde absolutamente toda la energía inicial. El protón y el neutrón chocan frontalmente y se quedan 'clavados' en el punto de impacto.

El mínimo se da para θ = 0 para el cual no hay una verdadera colisión, ya que las dos partículas ya iban moviéndose juntas. Simplemente se unen en su marcha.

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