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Colisión en el interior de un cuenco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el interior de un cuenco hemisférico de radio R = 2.5\,\mathrm{m} cuyo borde es horizontal, se encuentran dos partículas que pueden deslizar sin rozamiento por su superficie. Una de ellas, de masa m_2 =
4\,\mathrm{kg}, se encuentra en reposo en el fondo del cuenco. La otra, de masa m_1 = 1\,\mathrm{kg} se coloca en el borde del cuenco y desde allí se suelta.

  1. Calcule, con justificación, la velocidad que lleva la masa 1 justo antes de impactar con la masa 2. Halle la reacción del cuenco sobre la masa 1 para el mismo instante.
  2. Si el choque es perfectamente elástico, calcule las velocidades de las dos masas justo tras la colisión.
  3. Para este caso elástico, halle la altura máxima desde el fondo del cuenco que alcanza cada una de las masas tras el choque.
  4. Repita los dos apartados anteriores para el caso de que la colisión sea completamente inelástica. ¿Cuánta energía se pierde en la colisión en ese caso?

Tómese g = 9.8m/s²

2 Velocidad antes del impacto

Las fuerzas que actúan sobre la masa 1 en su descenso son el peso y la reacción normal del cuenco. Esta última, al ser perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo sobre la partícula. Por ello, se cumple la ley de conservación de la energía mecánica

\frac{1}{2}m_1v_A^2+m_1gz_A = \frac{1}{2}m_1v_B^2+mgz_B

Tomando como altura de referencia el fondo del cuenco y aplicando que la velocidad inicial es nula, esta ley se reduce a

m_1gR = \frac{1}{2}m_1gv_B^2\qquad\Rightarrow\qquad v_B = \sqrt{2gR}

que tiene el valor numérico

v_B = \sqrt{2\times 9.8\times 2.5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

En forma vectorial

\vec{v}_1 = v_B\vec{\imath}=7.0\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La reacción del fondo la hallamos observando que la segunda ley en ese punto nos da

m_1\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_n

La componente radial de esta ecuación vectorial es la normal al desplazamiento. Por tanto, tenemos

m_1\frac{|\vec{v}_1|^2}{R} = -m_1g +F_n

Despejamos la fuerza y sustituimos el valor de la rapidez calculado anteriormente.

F_n = m_1g + m_1\frac{v_B^2}{R}= 3m_1g = 29.4\,\mathrm{N}

La fuerza normal en este punto es el triple del peso de la masa.

3 Velocidades tras el impacto

En el impacto tenemos una colisión elástica, en la que se conserva la cantidad de movimiento. Considerando solo la componente horizontal (única no nula)

m_1v_1 + m_2\cdot 0=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

y el coeficiente de restitución es igual a la unidad

v_{2f}-v_{1f}=v_{1i}-v_{2i}= v_1\,

La solución de este sistema lineal es

v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1\qquad\qquad v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1

con valor numérico

v_{1f}=-4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v_{2f}=2.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La partícula ligera rebota, mientras que la pesada sale hacia adelante con una velocidad más pequeña.

4 Alturas máximas

Aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica obtenemos las alturas máximas alcanzadas por cada partícula.

Para la partícula de 1 kg

m_1gh_1 = \frac{1}{2}mv_{1f}^2\qquad\Rightarrow\qquad h_1=\frac{v_{1f}^2}{2g}=0.9\,\mathrm{m}

y para la de 4 kg

h_2 = \frac{v_{2f}^2}{2g}=0.4\,\mathrm{m}

5 Choque completamente inelástico

5.1 Velocidad tras la colisión

En un choque inelástico, las dos partículas se funden en una sola de masa la suma. La conservación de la cantidad de movimiento nos da la velocidad tras la colisión

m_1v_1 = (m_1+m_2)v_f\qquad\Rightarrow\qquad v_f = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_1 = 1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

5.2 Altura máxima

Con la nueva velocidad podemos hallar la nueva altura máxima del mismo modo que en los casos anteriores,

h_f = \frac{v_f^2}{2g}=0.1\,\mathrm{m}

5.3 Balance energético

El balance energético lo podemos hacer comparando la energía cinética antes y después de la colisión

\Delta K = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2-\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}5.0(1.4)^2-\frac{1}{2}1.0(7.0)^2=-19.6\,\mathrm{J}

También se puede hallar calculando la diferencia entre las energías potenciales final e inicial

\Delta U = (m_1+m_2)gh_f-m_1gh_0 = 5.0\times 9.8\times 0.1 - 1.0\times 9.8\times 2.5 = -19.6\,\mathrm{J}

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