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Coeficientes de capacidad

De Laplace

Contenido

1 Problema del potencial

Artículo completo: Problema del potencial

Cuando se tiene un sistema de conductores Sk a diferentes potenciales Vk, y quiere determinarse la distribución de potencial eléctrico y de campo eléctrico entre ellos, debe resolverse el problema del potencial:

\nabla^2\phi = 0

con las condiciones de contorno

\phi = V_k\quad (\mathbf{r}\in S_k)        \phi\to 0\quad (r\to\infty)

Suponemos que la única carga se encuentra sobre los conductores, y no en el espacio entre ellos; por ello, la ecuación diferencial es la de Laplace y no la de Poisson. La condición de contorno en el infinito puede ser sustituida por una en una superficie exterior que rodee al sistema (porque tengamos, por ejemplo, un sistema de conductores dentro de una jaula de Faraday).

La solución de este problema permite hallar el campo eléctrico entre los conductores, la carga en cada conductor, y la energía almacenada, entre otras cantidades. Aunque puede demostrarse que existe solución y es única, ello no quiere decir que sea sencilla de calcular. En muy pocos casos existe solución analítica y a menudo es preciso recurrir a una solución numérica.

2 Solución del problema del potencial

El problema del potencial tiene una complicación adicional aparte de su complejidad matemática: depende de los potenciales de todos los conductores. Esto quiere decir que si se modifica el potencial de uno solo de ellos, aunque el resto permanezca a la misma tensión que estaba, ya la solución completa es distinta, y todos los valores previos de campos, cargas o energía, se ven modificados.

Interesa entonces saber si existe un principio de superposición que permita separar el efecto de un conductor del del resto.

Quede claro que la solución del problema completo no es la suma de las soluciones que habría si estuviera cada conductor y no estuviera el resto. La presencia de nuevos conductores en un sistema, perturba a los ya existentes, redistribuyendo sus cargas, de forma que el campo que produce cada uno ya no es el mismo que producían antes de esta introducción.

No obstante lo anterior, sí podemos escribir la solución del problema del potencial (en ausencia de carga de volumen) como una combinación lineal de soluciones

\phi = \sum_{k=1}^N V_k\phi_k

donde los Vk son las tensiones de los diferentes conductores y las \phi_k\, son funciones base definidas por el problema del potencial

\nabla^2\phi_k = 0        \phi=\begin{cases}1 & \mathbf{r}\in S_k\\ 0 & \mathbf{r}\in S_j,\ j\neq k \\ 0 & r\to\infty\end{cases}

Expresado en palabras, la función \phi_k\, representa el potencial que habría si el conductor k estuviera a potencial unidad y el resto de los conductores estuviera a tierra (pero presentes).

Puede demostrarse que esta expresión es solución sustituyendo en el problema del potencial original y aplicando el teorema de unicidad.

La ventaja que trae el expresar la solución como una combinación lineal de funciones base es que estas funciones base son independientes de los potenciales concretos a los que se encuentran los diferentes conductores. Solo dependen de la geometría del sistema. Por ello, si se modifica la tensión de uno solo de los conductores, no es preciso recalcular la solución completa; basta con modificar el coeficiente correspondiente en la combinación lineal.

3 Cargas en los conductores

A menudo, lo que interesa no es determinar la distribución de potencial en todo el espacio, sino simplemente las cargas en los diferentes conductores. Esto se suele hacer hacer en el proceso de conversión de un sistema complejo en una caja negra, en la cual se da una serie de datos (los potenciales) y se obtienen los resultados (las cargas) sin necesidad de conocer el funcionamiento interno.

La carga en cada conductor puede hallarse mediante la ley de Gauss

Q_i = \varepsilon_0\oint_{S_i} \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i

siendo Si una superficie cerrada que envuelve al conductor i. Aplicando ahora la combinación lineal de funciones base, queda, para el campo eléctrico

\mathbf{E}=-\nabla\phi =-\sum_{k=1}^N V_k\nabla\phi_k=\sum_{k=1}^NV_k\mathbf{E}_k

y para la carga en el conductor i

Q_i = \oint_{S_i}\varepsilon_0\left(\sum_{k=1}^NV_k\mathbf{E}_k\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i = \sum_{k=1}^N V_k\left(\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\right)

o, de forma más concisa

Q_i = \sum_{k=1}^N C_{ik}V_k\,

donde

C_{ik}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\qquad\qquad\mathbf{E}_k=-\nabla\phi_k

son los llamados coeficientes de capacidad e inducción, que describiremos más en detalle más adelante.

Esta relación nos dice que las cargas en los conductores se pueden expresar como una combinación lineal de las diferentes tensiones. La relación se puede expresar en forma matricial

\mathbf{Q}=\mathsf{C}\cdot\mathbf{V}\,

donde \mathbf{Q} y \mathbf{V} son vectores columna de N elementos, con las cargas y tensiones respectivamente y \mathsf{C} es una matriz N\times N formada por los coeficientes de capacidad e inducción.

\begin{pmatrix}
   {{Q_1}}  \\
   {{Q_2}}  \\
    \vdots   \\
   {{Q_N}}  \\
\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
   {{C_{11}}} & {{C_{12}}} &  \cdots  & {{C_{1N}}}  \\
   {{C_{21}}} & {{C_{22}}} &  \cdots  & {{C_{2N}}}  \\
    \vdots  &  \vdots  &  \ddots  &  \vdots   \\
   {{C_{N1}}} & {{C_{2N}}} &  \cdots  & {{C_{NN}}}  \\
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
   {{V_1}}  \\
   {{V_2}}  \\
    \vdots   \\
   {{V_N}}  \\
\end{pmatrix}

Como en el caso de la solución del problema del potencial completo, la modificación de uno de los potenciales no afecta a la matriz de coeficientes de capacidad e inducción. Sí cambia, en egeneral, el valor de todas las cargas, de acuerdo con la relación anterior.

4 Coeficientes de capacidad e inducción

4.1 Definición e interpretación

Los coeficientes de capacidad e inducción se definen con la fórmula general

C_{ik}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i\qquad\qquad\mathbf{E}_k=-\nabla\phi_k

donde se distinguen:

Coeficientes de capacidad
cuando i = k, esto es, los elementos de la diagonal principal de la matriz \mathsf{C}.
Coeficientes de inducción
cuando i\neq k, es decir, los elementos sobre y bajo la diagonal principal de \mathsf{C}.

En términos físicos:

  • el coeficiente de capacidad Cii es la carga por unidad de potencial que aparece en el conductor i cuando dicho conductor está a potencial unidad y el resto de los conductores están a tierra.
  • el coeficiente de capacidad Cik es la carga por unidad de potencial que se induce en el conductor i cuando el conductor k está a potencial unidad y el resto de los conductores (incluyendo el i) están a tierra.

4.2 Unidades

Dado que relacionan un potencial con una carga, tanto los coeficientes de capacidad como los de inducción se miden en Faradios

1\,\mathrm{F}=\frac{1\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{V}}

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones prácticas, un faradio es una unidad gigantesca. Por ello, es mucho más frecuente emplear picofaradios o nanofaradios.

4.3 Simetría

Los coeficientes de inducción son simétricos, esto es,

C_{ik}=C_{ki}\,

en palabras, se tiene un principio de reciprocidad: la carga que se induce en el conductor i cuando el k está a potencial unidad y el resto a tierra, es la misma que se induce en el conductor k cuando es el i el que está a potencial unidad y el resto a tierra. Este resultado puede parecer un poco antiintuitivo, pues puede ocurrir que el conductor i sea de tamaño gigantesco, y el k diminuto, y aun así su influencia mutua será la misma (en un caso al conductor pequeño le cabe muy poca carga, y en el otro, produce muy poco efecto, induciendo muy poca carga en el grande.

Esto quiere decir que la matriz de los coeficientes de capacidad e inducción es una matriz simétrica.

4.3.1 Demostración

La simetría de los coeficientes de inducción es una consecuencia de la segunda identidad de Green:

\int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau=\oint_{\partial\tau}\left(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

Si en esta identidad hacemos φ = φi y ψ = φk, dos de las funciones base, el primer miembro se anula ya que ambas verifica la ecuación de Laplace en el espacio entre los conductores

\nabla^2\phi=\nabla^2\phi_k=0\,   \Rightarrow   \int_\tau\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\mathrm{d}\tau=0

El segundo miembro es una integral sobre la frontera del dominio, que podemos descomponer en la superficie de cada uno de los conductores, más la frontera exterior del sistema

\oint_{\partial\tau}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = -\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n + \oint_{S_\mathrm{ext}}\left(\phi_i\nabla\phi_k-\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_\mathrm{ext}

El signo menos que precede a las integrales sobre las superficies Sn se debe a que la normal a \partial\tau va hacia el exterior del volumen entre los conductores, esto es, hacia dentro de los conductores, mientras que en las definiciones de los Cik hemos considerado las normales hacia el exterior de los conductores.

Tanto \phi_i\, como \phi_k\, se anula en la superficie externa del sistema (sea una jaula de Faraday o el infinito), y cada una de las superficies conductoras valen una constante, que puede ser 0 ó 1. Por ello, se cumple que

\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_i\nabla\phi_k\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n = \oint_{S_i}\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i

ya que \phi_i\, se anula en todas las superficies, menos en Si, en la que vale 1. Del mismo modo

\sum_{n=1}^N\oint_{S_n}\left(\phi_k\nabla\phi_i\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_n = \oint_{S_k}\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k

Por tanto, obtenemos la relación

0=-\oint_{S_i}\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i-\oint_{S_k}\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k

o, equivalentemente,

-\oint_{S_i}\varepsilon_0\nabla\phi_k\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i=-\oint_{S_k}\varepsilon_0\nabla\phi_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k

o, en términos de los coeficientes de inducción,

C_{ik}=C_{ki}\,

4.4 Signo

4.4.1 Coeficientes de capacidad

Los coeficientes de capacidad son siempre estrictamente positivos

C_{ii}>0\,

Puede razonarse fácilmente considerando la estructura de las líneas de campo. Supongamos el conductor i a potencial unidad y el resto a tierra. Puesto que el campo eléctrico va de mayor a menor potencial, las líneas de campo deben partir del conductor i hacia el resto de los conductores o hacia el infinito, que se encuentran a menor potencial. Por la misma razón, ninguna línea de campo irá a parar al conductor i ya que el resto de las posibles fuentes de campo se encuentran a menor potencial. Si el campo sólo sale del conductor i y no entra en él, el flujo del campo eléctrico será necesariamente positivo, y por la ley de Gauss, el mismo signo tendrá la carga almacenada

C_{ii}=\oint_{S_i}\varepsilon_0\mathbf{E}_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_i>0

4.4.2 Coeficientes de inducción

Los coeficientes de inducción son siempre negativos o nulos

C_{ik}<0\qquad(i\neq k)
4.4.2.1 Caso en que son negativos

Supongamos un sistema de conductores en el que el conductor i está a potencial unidad y el resto a tierra. Si el conductor k (y el resto) se encuentra a tierra y a su superficie llegan líneas de campo, ¿de donde pueden provenir? No pueden venir de ningún otro conductor a tierra (por no haber diferencia de potencial con el k), ni pueden provenir del infinito (que también es tierra). Las líneas deben provenir necesariamente del conductor i, que es el único a mayor potencial que el k. Tampoco puede haber líneas salientes desde el conductor k, ya que no pueden ir a parar ni al infinito ni a ningún otro conductor. Por tanto, el campo eléctrico en Sk debe ser necesariamente entrante, y por ello

C_{ki}=\oint_{S_k}\varepsilon_0\mathbf{E}_i\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_k < 0
4.4.2.2 Caso en que son nulos

El razonamiento anterior presupone que al conductor k llega alguna línea de campo, pero eso no tiene por qué ocurrir necesariamente. Cuando se da el fenómeno del apantallamiento, porque el conductor k y el i están separados físicamente por un tercer conductor, no hay líneas de campo eléctrico que comuniquen los dos conductores, y por tanto la carga inducida en uno por el otro es nula

C_{ki}=0\qquad (i\neq k)

Más en detalle: supongamos que el conductor k se encuentra en el interior de una cavidad del conductor n, mientras que el i se encuentra en el exterior de dicho conductor (puede haber más conductores tanto en la cavidad como el exterior). Si el conductor i se encuentra a potencial unidad y el resto a tierra, esto quiere decir que todas las superficies conductoras en el hueco están a tierra. Puesto que la solución de la ecuación de Laplace en un recinto cuyas paredes están todas al mismo potencial V ( = 0 en este caso), es que el potencial vale V en todos los puntos de la cavidad. El campo eléctrico, por tanto, es nulo en el hueco, y la carga almacenada en cada conductor interior (y en la pared del hueco), es nula.

Combinando los dos casos obtenemos

C_{ki}\leq 0\qquad (i\neq k)

4.5 Estructura de la matriz C

Reuniendo estos resultados tenemos entonces que la matriz \mathsf{C} formada por los coeficientes de capacidad e inducción cumple

  • Es simétrica, Cik = Cki
  • Los elementos de la diagonal principal estrictamente positivos Cii > 0
  • Los elementos no de la diagonal principal son negativos o nulos C_{ik}\leq 0
  • Además, la matriz \mathsf{C} es definida positiva, esto quiere decir que, para cualquier vector \mathbf{V}, la cantidad
U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\mathbf{V}^t\cdot\mathsf{C}\cdot\mathbf{V} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
   {{V_1}}  &  {{V_2}}  & \cdots &  {{V_N}}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
   {{C_{11}}} & {{C_{12}}} &  \cdots  & {{C_{1N}}}  \\
   {{C_{21}}} & {{C_{22}}} &  \cdots  & {{C_{2N}}}  \\
    \vdots  &  \vdots  &  \ddots  &  \vdots   \\
   {{C_{N1}}} & {{C_{2N}}} &  \cdots  & {{C_{NN}}}  \\
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
   {{V_1}}  \\
   {{V_2}}  \\
    \vdots   \\
   {{V_N}}  \\
\end{pmatrix}\geq 0
siendo igual a 0 solo en el caso V_1 = V_2 = \cdots = V_N = 0. Esto es una consecuencia de que Ue es la energía electrostática en un sistema de conductores y la energía de cualquier distribución de cargas es siempre positiva, cuando se incluye el potencial debido a las propias cargas.
  • La condición de que \mathsf{C} sea definida positiva implica que no solo los elementos de la diagonal principal, sino cualquier menor principal (que tiene a la diagonal principal como diagonal), incluyendo a la propia matriz, tiene determinante estrictamente positivo. Así, por ejemplo, debe cumplirse
\left|\begin{matrix}C_{11} & C_{12}\\ C_{12} & C_{22}\end{matrix}\right|= C_{11}C_{22}-C_{12}^2 > 0
  • La condición de ser definida positiva implica asimismo que la suma de cada fila debe ser positiva o nula. Esto equivale a que el elemento de la diagonal principal (que es positivo) debe ser igual a o superior al valor absoluto de la suma de todos los demás elementos de la misma fila (que son negativos o nulos). Por ejemplo,
C_{11} \geq \left|C_{12}+C_{13}+\cdots+C_{1N}\right|

5 Casos particulares

5.1 Un solo conductor

Cuando tenemos un solo conductor, la matriz se reduce a un solo elemento, por lo que podemos omitir los subíndices y escribir

Q=CV\,

Este es el único caso en el que esta relación es válida. En el momento en que hay más conductores o más cargas en el sistema, ya deja de ser cierta.

Cuando se tiene este caso de un solo conductor, a la cantidad C se la conoce como capacidad del conductor (que no hay que confundir con la capacidad de un condensador, que es un concepto diferente).

De acuerdo con las propiedades generales de los coeficientes de capacidad, la capacidad de un conductor es una cantidad estrictamente positiva.

5.1.1 El ejemplo de la esfera conductora

En el caso de una esfera conductora de radio R, para hallar su capacidad, suponemos la esfera a un potencial unidad V. En este caso, la solución del problema del potencial es

\phi = \begin{cases}V_0 & (r < R) \\ & \\ \displaystyle\frac{V_0R}{r} & (r>R)\end{cases}

A partir de aquí, bien por aplicación de la ley de Gauss, bien a partir de la densidad de carga, bien a partir del desarrollo multipolar, o empleando un circuito equivalente, se llega a que la carga almacenada en la esfera es

Q=4\pi\varepsilon_0 RV\,

de donde resulta la capacidad para un conductor esférico

C = 4\pi\varepsilon_0R

Esta cantidad es siempre estrictamente positiva, como corresponde. su valor es usualmente muy pequeño. la capacidad de una esfera es proporcional a su radio (y no a su área, como podría imaginarse a priori). Para una esfera de 1 m de radio vale

C(1\,\mathrm{m}) = \frac{1}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=111\,\mathrm{pF}

Para el planeta Tierra (R_T\simeq 6400\,\mathrm{km}), considerado como una esfera conductora, esta capacidad es

C(6400\,\mathrm{km}) = 0.7\,\mathrm{mF}

que parece una cantidad minúscula cuando se compara con las capacidades de algunos condensadores reales, pero es que, recordemos, no es lo mismo la capacidad de un conductor, que la de un condensador.

5.2 Dos conductores

Cunado se tienen dos conductores, la matriz es una 2×2

\begin{pmatrix}Q_1\\Q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_{11} & C_{12}\\C_{12}&C_{22}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1\\V_2\end{pmatrix}    ó    \begin{matrix}Q_1&=&C_{11}V_1+C_{12}V_2 \\Q_2&=&C_{12}V_1+C_{22}V_2\end{matrix}

5.2.1 Influencia total

5.2.2 Dos esferas concéntricas

6 Apantallamiento

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