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Circuito con 3 resistores y 2 condensadores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene el circuito de la figura, formado por tres resistores iguales, dos condensadores iguales, una fuente de tensión y un interruptor.

  1. Suponga, en primer lugar, que el interruptor está abierto. ¿Cuánto vale la intensidad de corriente en cada resistencia? ¿Cuánto vale la carga en cada condensador?
  2. Suponga ahora que el interruptor está cerrado y que ha pasado el tiempo suficiente para que se establezca una corriente continua. ¿Cuánto vale la intensidad de corriente en cada resistencia? ¿Cuánto vale la carga en cada condensador?
  3. Suponga que estando el interruptor abierto y la situación la del primer apartado, se cierra el interruptor en t = 0. ¿Qué intensidad de corriente circula por cada resistencia justo después de cerrar el interruptor?
  4. Para el caso anterior, halle las ecuaciones diferenciales cumplen las cargas de los dos condensadores.
  5. Suponga ahora que estando el interruptor cerrado y la situación la del segundo apartado se abre el interruptor en t = 0. ¿Qué ecuaciones diferenciales cumplen las cargas de los dos condensadores?
  6. Resuelva las ecuaciones diferenciales de los apartados (4) y (5). Realice la gráfica de la intensidad que circula por la rama central en el primer caso.

2 Interruptor abierto

Como en otros problemas, llamamos A al nodo izquierdo, B al derecho, D al superior y E al inferior. “1” es el elemento entre A y D, “2” el que está entre D y B, “3” entre A y E, “4” entre E y B, y “5” entre E y D.

Cuando tenemos el interruptor abierto, cada una de las ramas está en paralelo con la otra y cada una contiene dos elementos en serie. En la rama superior se cumple

V_0=V_A-V_B = (V_A-V_D)+(V_D-V_B) = \frac{Q_1}{C}+I_2 R

Pero por estar en serie los elementos

I_1=I_3\,

Por ser el condensador ideal, en el estado estacionario no circula ninguna corriente por él

I_1=\frac{\mathrm{d}Q_1}{\mathrm{d}t}=0\qquad\Rightarrow\qquad I_3=I_1=0

En la rama no circula ninguna intensidad de corriente. Por tanto, no hay diferencia de potencial en la resistencia

V_D-V_E=I_3R=0\,

Por ello, toda la d.d.p. ocurre en el condensador

V_0=(V_A-V_D)+0 = \frac{Q_1}{C}\qquad\Rightarrow\qquad  Q_1=CV_0

En la rama inferior ocurre exactamente lo mismo. Al haber un condensador en el camino, la intensidad de corriente es nula, no hay d.d.p. en la resistencia y todo el potencial cae en el condensador

I_2=I_4=0\qquad\qquad Q_4=CV_0

3 Interruptor cerrado

Cuando el interruptor está cerrado sí hay intensidad de corriente circulando por el circuto, ya que ésta entra por la resistencia 3, sube por la 5 y pasa por la 2. Por las ramas 1 y 4, donde están los condensadores, no hay intensidad de corriente. La intensidad sigue por tanto tres resistencias en serie cumpliéndose

I_3=I_5=I_2\,

donde tomamos I5 de E a D. Puesto que la diferencia de potencial total es V_0

I_3R+I_5R+I_2R=V_0\qquad\Rightarrow\qquad I_3=I_5=I_2=\frac{V_0}{3R}

Para hallar la carga de cada condensador debemos conocer la d.d.p. entre sus placas.

Q_1=C(V_A-V_D) = C((V_A-V_E)+(V_E-V_D))=C(I_3R+I_5R)=\frac{2}{3}CV_0

y lo mismo ocurre con el condensador 4

Q_4=C(V_E-V_B) = C((V_E-V_D)+(V_D-V_B))=C(I_5R+I_2R)=\frac{2}{3}CV_0

4 Justo tras el cierre del interruptor

Cuando el sistema se sitúa en el estado inicial, con los condensadores cargados con Q = CV0, y se cierra el interruptor, el cambio no es repentino. La carga de los condensadores no cambia instantáneamente, ya que las resistencias obligan a que necesiten un tiempo para reordenarse.

Por ello, justo tras el cierre, la carga es exactamente la misma

Q1 = Q4 = CV0

y por ello, el voltaje de los dos nodos centrales D y E no se ve modificado

V_A-V_D=\frac{Q_1}{C}=V_0\qquad\qquad V_E-V_B=\frac{Q_4}{C}=0

y por tanto sigue sin circular corriente por las resistencias 2 y 3

I_2=\frac{V_D-V_B}{R}=\frac{(V_A-V_B)-(V_A-V_D)}{R}=\frac{V_0-V_0}{R}=0\qquad
I_3=\frac{V_A-V_E}{R}=\frac{(V_A-V_B)-(V_E-V_B)}{R}=\frac{V_0-V_0}{R}=0

pero sí la hay en la rama central, por haber una diferencia de potencial entre sus extremos

I_5=\frac{V_E-V_D}{R}=\frac{V_0}{R}

Podría parecer que se está violando la primera ley de Kirchhoff o la conservación de la carga, ya que esta corriente que circula por la rama central no viene de la resistencia 3 ni sigue por la 2. En realidad esta intensidad de corriente está producida por la descarga de los condensadores, uqe están inicialmente cargados, pero van perdiendo gradualmente parte de su carga.

5 Ecuaciones diferenciales tras el cierre

6 Ecuaciones diferenciales tras la apertura

7 Solución de las ecuaciones diferenciales

7.1 Tras el cierre

7.2 Tras la apertura

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