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Cilindro relleno de una densidad de carga no uniforme

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El interior de un tubo cilíndrico de radio a y longitud indefinida está ocupado por un gas que presenta una distribución volumétrica de carga eléctrica, ρq, que varía con la distancia ρ al eje del tubo, según la ley

\rho_q(\mathbf{r})=\rho_q(\rho)=k\left(1+\frac{2\rho^2}{a^2}\right)

Inicialmente, no hay más cargas en el sistema.

  1. Determine la cantidad de carga contenida en una porción del tubo de longitud h, así como la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  2. ¿Qué distribución superficial de carga debe añadirse en la superficie del tubo para que el campo eléctrico exterior sea nulo? Para ese caso, determine el potencial electrostático en todos los puntos del espacio.
  3. Supóngase que en el punto P0, dado por el vector posición \mathbf{r}_0= b\mathbf{u}_x\;\; (b < a) se encuentra una molécula de agua con momento dipolar \mathbf{p}_0 = p\mathbf{u}_x. ¿Cómo es la fuerza que el gas ejerce sobre ella? ¿A qué se reduce la fuerza si b = 0?

2 Carga y campo eléctrico

Puesto que la densidad volumétrica de carga sólo depende de la variable ρ (distancia al eje z), la cantidad de carga que hay dentro de una sección de tubo de longitud h se calcula integrado la densidad volumétrica en cualquier elemento de volumen que tenga dicha altura:


\left.\begin{array}{r}Q\rfloor_{\Delta \tau}=\int_{{}_{\Delta \tau}}\!\rho_q(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau'\\ \\ \mathrm{d}\tau'=\rho'\mathrm{d}\rho'\mathrm{d}\varphi'\mathrm{d}z'\end{array}\right\}   \Rightarrow    Q\rfloor_{\Delta \tau}=k\int_0^{2\pi}\!\mathrm{d}\varphi'\int_z^{z+h}\!\mathrm{d}z'\int_0^a\!\rho'\left[1+2\left(\frac{\rho'}{a}\right)^2\right]\mathrm{d}\rho'=2\pi ka^2h

Para calcular el campo eléctrico creado por la distribución podemos utilizar diversos procedimientos. Por ejemplo, aplicar la ley de Gauss integral en un recinto con simetría cilíndrica, o bien, resolver la ecuación diferencial que para cada punto del espacio nos proporciona la versión local de dicha ley de Gauss. En cualquier caso, es esencial determinar las propiedades geométricas del campo eléctrico: como lo distribución de carga \rho_q (\mathbf{r}) es estática, dicho campo va a ser irrotacional y, en consecuencia, derivará de un potencial electrostático \phi(\mathbf{r}). Como la distribución de carga que lo produce tiene una longitud indefinida y sólo depende de la distancia ρ al eje z, el valor de dicho campo escalar en un punto del espacio P(\rho,\varphi,z) no será función de las coordenadas cilíndricas \varphi y z. En consecuencia, el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección de \mathbf{u}_\rho y ésta sólo depende de la variable ρ:

\rho_q (\rho)\;\longrightarrow\;\phi(\mathbf{r})=\phi(\rho)\;\;\Longrightarrow\;\;\mathbf{E}=-\nabla \phi=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\rho}\ \mathbf{u}_\rho=E(\rho)\mathbf{u}_\rho


2.1 Versión integral de la ley de Gauss

Consideremos un volumen cilíndrico τ(ρ), coaxial con la distribución de carga, de radio y altura arbitrarias ρ y Δz, respectivamente. Según la ley de Gauss, el flujo del campo eléctrico a través de la superficie cerrada \partial\tau (\rho) que limita dicho volumen es proporcional a la carga eléctrica encerrada:

La superficie cerrada \partial\tau (\rho) está formada por los discos Σ1 y Σ2, contenidos en sendos planos perpendiculares al eje z, y la superficie cilíndrica lateral ΣL(ρ). Sólo a través de esta última el flujo del campo eléctrico será no nulo:

\oint_{\tau(\rho)}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\underbrace{\int_{\Sigma_1}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_1}_{=0}+\underbrace{\int_{\Sigma_2}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_2}_{=0}+\int_{\Sigma_L(\rho)}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_L=2\pi\rho\Delta z E(\rho)

Por otra parte, la cantidad de carga encerrada dentro del volumen τ(ρ), va a depender tanto de su altura Δz, como del radio ρ:

Q\big\rfloor_{\tau(\rho)}=\int_{\tau(\rho)}\!\rho_q \mathrm{d}\tau'=\begin{cases}\displaystyle k\pi \rho^2\Delta z\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right); & \mathrm{para}\quad \rho<a \\ \\ 2k\pi a^2\Delta z; & \mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}

Y exigiendo que se verifique la ley de Gauss, se obtiene la expresión del campo elécgtrico para todos los puntos del espacio:

\oint_{\tau(\rho)}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\bigg\rfloor_{\tau(\rho)}   \Rightarrow   \mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{k\rho}{2\varepsilon_0}\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right) \mathbf{u}_\rho; & \mathrm{para}\quad \rho\le a \\ \\ \displaystyle\frac{k a^2}{\varepsilon_0\rho}\ \mathbf{u}_\rho; & \mathrm{para}\quad \rho\ge a \end{cases}

Obsérvese que al considerar que sólo la distribución volumétrica de carga es la fuente del campo eléctrico, éste va a presentar continuidad en la superficie cilíndrica ρ = a.

2.2 Versión local de la ley de Gauss

La versión local de la ley de Gauss, junto con las propiedades de simetría del campo eléctrico antes determinadas, nos lleva al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

\left.\begin{array}{r}\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_q}{\varepsilon_0}\\ \\
\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(\rho)\mathbf{u}_\rho\end{array}\right\}
\quad\longrightarrow\quad\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\big[\rho E(\rho)\big]=\begin{cases}\displaystyle \frac{k}{\varepsilon_0}\left(1+\frac{2\rho^2}{a^2}\right); & \mathrm{para}\quad \rho<a \\ \\ 0; & \mathrm{para}\quad \rho>a \end{cases}

Las soluciones generales a estas ecuaciones son:

E(\rho)=\begin{cases}\displaystyle \frac{k \rho}{2\varepsilon_0}\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)+C; & \mathrm{para}\quad \rho\le a \\ \\ \displaystyle \frac{A}{\rho}+B; & \mathrm{para}\quad \rho\ge a \end{cases}

donde A, B y C son constantes a determinar por las condiciones de contorno. Como el campo eléctrico debe anularse en puntos muy alejados de la distribución (cuando \rho\longrightarrow\infty), se tendrá que B = 0. Por otra parte, la carga eléctrica contenida en un cilindro de radio \rho\longrightarrow 0 tiende a ser cero; por tanto, el campo eléctrico también debe anularse cuando \rho\longrightarrow 0 y, en consecuencia, C = 0. Finalmente, el valor de A se determina exigiendo la continuidad de la componente normal del campo en ρ = a, ya que en este apartado no se considera la existencia de una distribución superficial de carga eléctrica en dicha superficie, de forma que E(a + ) = E(a). Se obtiene, por tanto,

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{k\rho}{2\varepsilon_0}\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right) \mathbf{u}_\rho; & \mathrm{para}\quad \rho\le a \\ \\ \displaystyle\frac{k a^2}{\varepsilon_0\rho}\ \mathbf{u}_\rho; & \mathrm{para}\quad \rho\ge a \end{cases}

3 Distribución superficial para anular el campo

Determinemos ahora qué distribución superficial de carga σq(ρ = a) ha de existir en la superficie cilíndrica Σ:ρ = a para que en el exterior el campo eléctrico sea nulo. El procedimiento más sencillo es utilizar la condición de salto o discontinuidad que va a verificar la componente normal del campo eléctrico en dicha superficie:


\sigma_q(\mathbf{r})\rfloor_{\rho=a}=\varepsilon_0 \mathbf{n}\cdot\big[\mathbf{E}^+-\mathbf{E}^-\big]_{\Sigma:\rho=a}

La distribución en la superficie Σ:ρ = a no va a afectar al campo en el interior, de manera que, si aquí se mantiene la distribución volumétrica ρq(ρ < a), el campo eléctrico en ρ < a seguirá siendo el mismo que se calculó en el apartado anterior. De esta forma, se tendrá

\sigma_q(\rho=a)=\varepsilon_0 \mathbf{u}_\rho\cdot\big[\overbrace{\mathbf{E}(\rho=a^+)}^{=0}-\mathbf{E}(\rho=a^-)\big]=-ka,\;\mathrm{cte.}

Obsérvese que la cantidad de carga eléctrica que habrá en la superficie lateral ΔΣ de una porción de tubo de longitud h será:

Q\rfloor_{\Delta \Sigma}=\int_{{}_{\Delta \Sigma}}\!\sigma_q \mathrm{d}S=-ka\int_{{}_{\Delta \Sigma}}\!\mathrm{d}S=-2\pi k a^2 h

Es decir, es la opuesta a la que hay distribuida en volumen en el interior de dicha porción de tubo, según se calculó en el apartado anterior. En consecuencia, la carga total que habrá ahora en cada porción de tubo es cero y, en consecuencia, el campo exterior será nulo.

3.1 Potencial electrostático en la nueva situación

Como se discutió anteriormente, el campo eléctrico deriva de un potencial electrostático escalar,

\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\phi(\mathbf{r})\;\;\Longrightarrow\;\;\mathrm{d}\phi=-\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\begin{cases}\displaystyle -\frac{k}{2\varepsilon_0}\left(\rho+\frac{\rho^3}{a^2}\right)\mathrm{d}\rho; & \mathrm{para}\quad \rho< a \\ \\ 0; & \mathrm{para}\quad \rho> a \end{cases}

Si el campo eléctrico en el exterior del cilindro es nulo, el potencial electrostático no cambia en dicha región del espacio. La expresión en el interior se obtiene por integración:

\phi (\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle -\frac{k}{4\varepsilon_0}\left(\rho^2+\frac{\rho^4}{2a^2}\right)+C_1; & \mathrm{para}\quad \rho\le a \\ \\ C_2; & \mathrm{para}\quad \rho\ge a \end{cases}

Para determinar la constante C2 tenemos en cuenta que el potencial debe ser nulo en puntos muy alejados de la distribución de carga: en consecuenia, se tendrá que C2 = 0. El valor de C1 se obtiene exigiendo que el potencial debe ser continuo en la superficie Σ:ρ = a:

\left.\begin{array}{c}\phi(\rho\rightarrow\infty)=C_2=0\\ \\
\displaystyle\phi(\rho=a^-)=-\frac{3ka^2}{8\varepsilon_0}+C_1=0=\phi(\rho=a^+)\end{array}\right\}   \Rightarrow   \phi (\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{ka^2}{8\varepsilon_0} \left(3-2\frac{\rho^2}{a^2}-\frac{\rho^4}{a^4}\right); & \mathrm{para}\quad \rho\le a \\ \\ 0; & \mathrm{para}\quad \rho\ge a \end{cases}

4 Fuerza sobre una molécula de agua

En primer lugar, observamos que el campo eléctrico en el punto P0 tiene la misma orientación que el momento dipolar de la molécula:

\mathbf{E}(\mathbf{r}_0)=E(\rho=b)\mathbf{u}_\rho(\varphi=0)=E(\rho=b)\mathbf{u}_x\ \|\ \mathbf{p}_0   \Rightarrow   \mathbf{M}_{P_0}(\mathbf{p}_0)=\mathbf{p}_0\times\mathbf{E}(\mathbf{r}_0)=\mathbf{0}

Es decir, sobre la molécula no va a actuar un par de fuerzas pues su momento dipolar está alineado con el campo eléctrico. Sin embargo, a pesar de que la molécula es eléctricamente neutra, sobre ella sí puede existir una fuerza neta, siempre que el campo eléctrico presente una variación en la dirección de \mathbf{p}_0.

Para calcular esta magnitud podemos seguir varios procedimientos. Por ejemplo, si saqemos a priori que el momento del dipolo permance siempre constante (en módulo, dirección y sentido), podemos aplicar que la fuerza que actúa sobre el dipolo es opuesta al gradiente de su energía potencial cuando se halla en el campo creado por la distribución de carga:


\mathbf{F}(\mathbf{r};\mathbf{p}_0)=-\nabla U_e(\mathbf{r};\mathbf{p}_0)=\nabla\left[\mathbf{p}_0\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r})\right]

Sin embargo, si consideramos que en cada punto donde se encuentre la molécula, esta siempre se va orientar con la dirección del campo eléctrico (es decir, en la dirección del unitario \mathbf{u}_\rho), puede resultar conveniente la expresión general,

\mathbf{F}(\mathbf{r}_0;\mathbf{p}_0)=\left(\mathbf{p}_0\cdot\nabla\right)\mathbf{E}(\mathbf{r})\rfloor_{P_0}

Hay que tener cuidado de realizar primero el proceso de derivación en un punto genérico y después particularizar al punto P0. Consideremos por tanto que nuestra molécula se haya en un punto arbitrario de coordenadas P(\rho,\varphi,z) pero -eso sí-, ya orientada en la dirección del campo eléctrico:

\left.\begin{array}{c}\displaystyle\mathbf{p}_0\rfloor_P=p\mathbf{u}_\rho(\varphi)\, \longrightarrow\, \mathbf{p}_0\cdot\nabla=p\frac{\partial}{\partial\rho}\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}(\rho\le a)=
\frac{k\rho}{2\varepsilon_0}\left(1+\frac{\rho^2}{a^2}\right)\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)\end{array}\right\}   \Rightarrow   \mathbf{F}(\mathbf{r};\mathbf{p}_0)=p\frac{\partial E(\rho)}{\partial\rho}\ \mathbf{u}_\rho(\varphi)=
\frac{pk}{2\varepsilon_0}\left(1+3\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_\rho(\varphi)

Para determinar la fuerza que actúa sobre la partícula en el punto P0 basta sustituir en la anterior expresión las coordenadas cilíndricas correspondientes a dicho punto:

\mathbf{r}_0=b\mathbf{u}_x \;\longleftrightarrow\; P_0(\rho=b;\varphi=0;z=0)   \Rightarrow   \mathbf{F}(\mathbf{r}_0;\mathbf{p}_0)=
\frac{pk}{2\varepsilon_0}\left(1+3\frac{b^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_x

Obsérvese que en el caso particular de que el dipolo se encuentre en el eje z (b=0), pero orientado en la dirección del eje x, la molécula está sometida a una fuerza no nula en la dirección de dicho eje:

\mathbf{F}(\mathbf{0};\mathbf{p}_0)=
\frac{pk}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_x

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