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Caso particular de MAS (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Un oscilador armónico con posición de equilibrio xeq = 0 se mueve de tal forma que en t=0.00\,\mathrm{s} la partícula se halla en x_0=0.80\,\mathrm{m}, moviéndose con velocidad v_0=+0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s} y aceleración a_0=-0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Halle la frecuencia ω y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

2 Solución

Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico

a = -\omega^2x\,

Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que

\omega = \sqrt{-\frac{a_0}{x_0}}=\sqrt{\frac{0.20}{0.80}}\mathrm{s}^{-1}= 0.5\,\mathrm{s}^{-1}

Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo

T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi\,\mathrm{s}=12.57\,\mathrm{s}

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición

\hat{x}=x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}

que en este caso es el número complejo

\hat{x}=(0.80-\frac{0.60}{0.5}\mathrm{j})\,\mathrm{m}=(0.80-1.20\mathrm{j})\,\mathrm{m}

A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo

A = |\hat{x}| = \sqrt{0.80^2+1.20^2}\,\mathrm{m}=1.44\,\mathrm{m}

y la constante de fase como su argumento

\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{-1.20}{0.80}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}

El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por

\hat{v}=\mathrm{j}\omega\hat{x}=(0.5\,\mathrm{j})(0.80-1.20\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= (0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por

\hat{a}=\mathrm{j}\omega\hat{v}=(0.5\,\mathrm{j})(0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}= (-0.20+0.30\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración.

Archivo:xvt-2.png

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