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Caso de movimiento con aceleración constante (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve con aceleración constante, de forma que en tres instantes sucesivos ocupa las siguientes posiciones

t(s) \vec{r} (\mathrm{m})
0\, -0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}
1\, 1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k}
2\, 4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}
  1. Halle la velocidad media en el intervalo (0 s, 2s)
  2. Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en t = 0 s) vale \vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y la aceleración del movimiento en este intervalo es \vec{a}=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  3. Para el instante t = 1 s, halle:
    1. La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas
    2. La aceleración tangencial y la aceleración normal (escalares)
    3. Los vectores del triedro de Frenet \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}
    4. El radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Velocidad media

En lo que sigue todas las cantidades con dimensiones están en las unidades fundamentales del SI: m, s o combinaciones de estos.

La velocidad media en un intervalo es el vector

\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

que en el intervalo (0 s,2 s) da

\vec{v}_m=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{t_2-t_0}=\frac{\left(4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}\right)-\left(-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)}{2}=\left(2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Velocidad inicial y aceleración

Al ser un movimiento de aceleración constante (aunque no rectilíneo; en general este tipo de movimientos es parabólico), la posición y la velocidad cumplen, en cada instante

\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}_0t^2\qquad\qquad \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}_0t

Para determinar los coeficientes de una parábola basta imponer la posición de tres puntos. En este caso en concreto ya tenemos el coeficiente \vec{r}_0. Aplicando la ecuación del movimiento con aceleración constante a los instantes t = 1 s y t = 2s queda

\vec{r}_1=\vec{r}(t=1)=\vec{r}_0+\vec{v}_0+\frac{1}{2}\vec{a}_0

y

\vec{r}_2=\vec{r}(t=2)=\vec{r}_0+2\vec{v}_0+2\vec{a}_0

Sustituimos los vectores de posición y obtenemos el sistema


\begin{array}{rcccl}\vec{v}_0+\dfrac{1}{2}\vec{a}_0 &= & \vec{r}_1-\vec{r}_0 & = & 1.70\vec{\imath} -0.48\vec{\jmath}-0.36\vec{k}\\ &&&& \\
\vec{v}_0+\vec{a}_0& =& \dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{2}& = & 2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\end{array}

(este úlltimo vector ya lo habíamos calculado en el primer apartado). Restamos la primera de la segunda y hallamos la aceleración

\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

y restando la segunda del doble de la primera hallamos la velocidad inicial

\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}

Alternativamente, como en el propio enunciado se da el resultado, es posible probarlo comprobando que en t = 1 s y en t = 2 s se obtiene el resultado dado en la tabla (hace falta sustituir en los dos instantes, no basta uno).

4 Magnitudes en t = 1s

4.1 Velocidad, rapidez y aceleración

Por tratarse de un movimiento con aceleración constante, la aceleración en t = 1 s es la misma que en t = 0 s

\vec{a}_1=\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

mientras que la velocidad en este instante vale

\vec{v}_1=\vec{v}(t=1)=\vec{v}_0+\vec{a}_0=2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}

Esta velocidad instantánea coincide con la velocidad media calculada en el primer apartado. Es una cosnecuencia del movimiento con aceleración constante: en un intervalo, la velocidad media coincide con la media aritmética de las velocidades en los extremos y con la velocidad instantánea en el centro del intervalo.

La rapidez es el módulo de esta velocidad

\left|\vec{v}\right|=\sqrt{2.40^2+1.44^2+1.08^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4.2 Componentes intrínsecas de la aceleración

4.2.1 Aceleración tangencial

Calculamos primero el vector tangente normalizando la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}

y calculamos la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre este vector

a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=1.40\times 0.80+3.84\times 0.48+2.88\times 0.36=4.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

El vector aceleración tangencial será esta cantidad escalar multiplicada por el vector tangente

\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\left(3.20\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

4.2.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial podemos hallar el vector aceleración normal restando los vectores

\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\left(-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y una vez que la tenemos, calculamos su módulo para obtener la aceleración normal escalar

a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{1.80^2+1.92^2+1.44^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Alternativamente, si solo deseamos la cantidad escalar podemos hallarla empleando el teorema de Pitágoras

a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{25-16}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

o con la fórmula a partir de la velocidad y la aceleración

a_n=|\vec{T}\times\vec{a}|=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|}

4.3 Triedro de Frenet

El vector tangente ya lo hemos calculado

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}

El vector normal lo podemos obtener normalizando el vector aceleración normal, si lo hemos calculado

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}}{3}=-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}

y, una vez que tenemos estos dos vectores calculamos el binormal mediante el producto vectorial

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}& \vec{\jmath}& \vec{k} \\ 0.8 & 0.48 & 0.36 \\ -0.60 & 0.64 & 0.48\end{matrix}\right|=-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}

Alternativamente, podemos hallar en primer lugar el vector binormal como el unitario perpendicular a la velocidad y la aceleración

\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

y luego el normal a partir de éste y el tangente

\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}

4.4 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura se halla a partir de la rapidez y la aceleración

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{9}{3}=3\,\mathrm{m}

El centro de curvatura se halla prolongando el vector de posición en la dirección del vector normal

\vec{r}_c=\vec{r}_1+R\vec{N}=(1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k})+3(-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k})=\left(-0.10\vec{\imath}+0.84\vec{\jmath}+1.88\vec{k}\right)\mathrm{m}

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