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Carga total en un cubo de cobre GIA

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un cubo de cobre de 1 cm de arista. Calcula la cantidad de carga positiva y negativa que hay en el cubo. Si en un instante dado, los dos tipos de carga se separasen ocupando cada uno una mitad del tubo, estima la aceleración que sufriría cada una de las mitades si el cubo se dividiera en ese instante.

Datos: Número atómico del cobre Z = 29, \rho_m = 8.96\,\mathrm{g/cm^3}, P_M = 63.5\,\mathrm{g/mol}.

2 Solución

Cada átomo de cobre tiene Z protones con carga positiva + e y Z electrones con carga negativa e (e=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C} es la carga fundamental). Tenemos que averiguar cuantos átomos hay en el volumen de cobre. Para ello usamos factores de conversión


\underbrace{1\,\mathrm{cm^3}\,\times\,
\dfrac{8.96\,\mathrm{g}}{1\,\mathrm{cm^3}}\,\times\,
\dfrac{1\,\mathrm{mol}}{63.5\,\mathrm{g}}}_{\approx 0.14\,\mathrm{moles}}\,\times\,
\dfrac{6.02\times10^{23}\,\mathrm{atomos}}{1\,\mathrm{mol}}
=
8.49\times10^{22}\,\mathrm{atomos}

La carga positiva total es


Q_+ = \underbrace{8.49\times10^{22}\,\mathrm{atomos}
\,\times\,
\dfrac{29\,\mathrm{protones}}{1\,\mathrm{atomo}}}_{\approx 2.46 \times 10^{25}\,\mathrm{protones}}
\,\times\,
\dfrac{1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}}{1\,\mathrm{proton}}
=
3.94\times10^5\,\mathrm{C}

La carga total negativa es la misma cambiada de signo


Q_{-} = -3.94\times10^5\,\mathrm{C}

2.1 Estimación de la fuerza

Podemos hacer una estimación muy grosera de la fuerza que habría entre estas dos cargas si en un momento dado se separasen ocupando cada uno la mitad del cubo. Consideramos que tenemos dos cargas puntuales separadas por una distancia a=0.5\,\mathrm{cm} (la mitad de la arista del cubo). La Ley de Coulomb nos dice que el módulo de la fuerza sería


F = k\,\dfrac{|Q_+Q_-|}{a^2} = 5.59\times10^{25}\,\mathrm{N}

... es decir, una fuerza equivalente al “peso” de una masa de 5.7 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

La aceleración que tendría cada mitad del cubo es esta fuerza dividida por la mitad de la masa del cubo. La masa del cubo completo es


m = \rho\,V = 8.96\,\mathrm{\dfrac{g}{cm^3}}\,\times\,1\,\mathrm{cm^3} = 8.96\,\mathrm{g}

Con lo que la aceleración de cada mitad es


a = \dfrac{F}{m/2} = 2\,\dfrac{5.59\times10^{25}\,\mathrm{N}}{8.96\,\mathrm{g}}\,\times\,\dfrac{10^3\,\mathrm{g}}{1\,\mathrm{kg}}
=
1.25\times10^{28}\,\mathrm{m/s^2}

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