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Carga en el interior de una corona esférica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un conductor metálico en forma de corona esférica de radio interior a=12\,\mathrm{cm} y exterior b=24\,\mathrm{cm}. En el centro de la cavidad esférica se encuentra una carga puntual q=18\,\mathrm{nC}. Calcule:

  1. La carga en cada uno de las superficies del conductor.
  2. El potencial al que se encuentra la carga y el conductor
  3. El campo eléctrico en el exterior de la esfera y en la cavidad.
  4. La energía electrostática almacenada.

para los siguientes cuatro casos:

  • La corona esférica está conectada a tierra.
  • La corona está aislada y descargada.
  • La corona está conecta a una fuente de tensión que fija un voltaje V_0 = -12\,\mathrm{V}.
  • La corona está aislada y almacena una carga Q_0=-36\,\mathrm{nC}.

2 Introducción

En las diferentes situaciones de este problema la geometría es la misma, y muchas de las propiedades son comunes a los cuatro casos. Por ello, primero haremos una descripción general y luego particularizaremos para cada caso.

2.1 Cargas y campo eléctrico

Tenemos una corona esférica conductora, que tiene un radio interior a y uno exterior b, es decir, tenemos dos superficies conductoras esféricas concéntricas, entre las cuales el campo eléctrico es nulo

\vec{E}=\vec{0}\qquad (a < r < b)

En el centro de la cavidad hay una carga puntual q. Al ser todas las superficies y cargas concéntricas el sistema tiene simetría esférica, el campo eléctrico en todas partes va a ser radial y dependiente solo de la distancia al centro del sistema

\vec{E}=E(r)\vec{u}_r

Esto nos permite usar la ley de Gauss como herramienta para hallar el campo eléctrico. Considerando una superficie esférica de radio r arbitrario, el flujo del campo eléctrico a través de ella es igual a

\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint E(r)\,\mathrm{d}S=4\pi r^2 E

y, por aplicación de la ley de Gauss, este flujo es proporcional a la carga encerrada

4\pi r^2 E = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}\qquad \vec{E}(r) = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r

En el interior del hueco la única carga encerrada es la de la carga central, por lo que, para todos los casos

\vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r \qquad (r < a)

Al mismo tiempo, en todos los casos el campo es nulo en la corona esférica, por lo que para toda superficie entre r = a y r = b

(a < r< b)\qquad\qquad \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0\qquad\Rightarrow\qquad Q_\mathrm{int}=0

esto quiere decir que en todos los casos en la superficie del hueco habrá distribuida una carga

Q_1 = -q\qquad\qquad (r=a)

Además de esta carga, habrá otra Q2 en la superficie exterior de la corona. El valor de esta carga sí depende de las condiciones del problema, como veremos en los apartados siguientes.

Aplicando la ley de Gauss a una superficie que envuelve todo el sistema nos queda

4\pi r^2 E = \frac{\overbrace{q+Q_1}^{=0}+Q_2}{\varepsilon_0}=\frac{Q_2}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (r >b)

Esto significa que en el exterior de la corona no vemos ni la carga puntual ni la carga de la superficie del hueco, sino su la carga de la superficie exterior.

Reuniendo las tres expresiones nos queda la fórmula general

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r < a \\ & \\ \vec{0} & a < r < b \\ & \\ \displaystyle \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b\end{cases}

2.2 Potencial eléctrico

A partir de la expresión del campo eléctrico podemos hallar el potencial por integración o por superposición

2.2.1 Por integración

Considerando el origen de potencial en el infinito y tomando un camino rectilíneo hasta el punto cuyo potencial queremos hallar

V(r) = -\int_\infty^r \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_\infty^r E(r)\,\mathrm{d}r

En el exterior de la corona el campo equivale al de una carga puntual y el potencial, por tanto, también

V(r>b) = -\int_\infty^r \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}

En el propio material, el potencial es constante. Su valor equivale al valor de la expresión anterior en r = b

V(a<r\leq b) = -\int_\infty^b \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r-\int_b^r 0\,\mathrm{d}r = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}

En el interior del hueco el potencial equivale a esta constante más un término debido al campo de la carga puntual

V(r\leq a) = -\int_\infty^b \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r-\int_b^a 0\,\mathrm{d}r -\int_a^r \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\mathrm{d}r= \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}\right)

2.2.2 Por superposición

Alternativamente, podemos hallar el potencial como suma del potencial debido a la carga puntual, a la carga Q1 = − q situada en la pared del hueco y a la carga Q2 situada en la superficie exterior. Respectivamente, cada uno de estos potenciales vale:

De la carga puntual
V_q = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\qquad (r > 0)
De la carga de la pared del hueco
V_1 = \begin{cases}\displaystyle\frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 a} & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > a\end{cases}
De la carga de la superficie exterior
V_2 = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b} & r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b\end{cases}

Sumando las tres expresiones llegamos al mismo resultado que antes

V = V_q+V_1+V_2 = \begin{cases}\displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}\right) & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b} & a < r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b\end{cases}

2.2.3 Potencial al que se encuentra la carga y el conductor

La expresión anterior nos da el potencial en todos los puntos del espacio. En particular, su valor en a < r < b nos da el potencial en los puntos del conductor, esto es, el voltaje al que se encuentra éste

V_c = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}

Para expresar el potencial al que se encuentra la carga no podemos usar la expresión anterior directamente. La carga puntual se encuentra en r = 0 y si sustituimos este valor en las expresiones anteriores nos resulta un valor infinito.

Esta divergencia se debe a que estamos sustituyendo el valor de la posición en el potencial total, incluyendo el debido a la propia carga puntual, que es el que vale infinito. Cuando se habla del potencial al que se encuentra una carga siempre hay que descontar el debido a ella misma y considerar solo el resto de cargas del universo. Representamos esto por V' (como en el cálculo de la energía de una distribución). Según esto, el potencial al que se encuentra la carga es

V'_q = V_1(r=0) + V_2(r=0)=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}+\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}

Los dos voltajes se relacionan como

V'_q = V_c - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0a}

siendo este último término uno que vale −1350 V en todos los apartados.

2.3 Energía electrostática

En la energía electrostática hay que distinguir dos términos: el debido al conductor y el asociado a la carga puntual. El único cuidado que hay que tener es descontar el potencial debido a la propia carga puntual (si no, daría infinito), con lo que queda

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_cV_c + \frac{1}{2}qV'(\vec{r}_q)=\frac{1}{2}Q_c(V_1+V_2+V_q) + \frac{1}{2}q(V_1+V_2)

siendo

Q_c = Q_1+Q_2 = Q_2 - q\qquad\qquad V_c = V_1+V_2+v_q=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}\qquad\qquad V'_q=V_1+V_2=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a}

la carga total del conductor, el potencial al que se encuentra el conductor y el potencial al que se encuentra la carga una vez descontado el de la propia carga (es decir, queda el potencial debido a las dos superficies cargadas V1 + V2).

Sustituyendo los diferentes valores queda

U_\mathrm{e}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2^2}{b}-\frac{q^2}{a}\right)

3 Corona a tierra

Si el conductor está a tierra, su potencial es el mismo que el de referencia, es decir, es nulo, Vc = 0. Esto nos dice que

\left\{\begin{array}{l}V_c = 0 \\ \\ V_c=\displaystyle\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad Q_2 = 0

Vemos que el que el conductor esté a tierra implica que no hay carga en la superficie exterior del conductor.

Podemos llegar a este resultado de forma sencilla, sin necesidad de hacer el cálculo general. Si el conductor está a tierra, su potencial es el mismo que el del infinito. Puesto que el campo eléctrico siempre va de mayor a menor potencial no puede haber ninguna línea de campo que vaya de la corona al infinito ni al revés. En todo caso irían a otro conductor o carga que haya en el exterior, pero como no hay nada más fuera de la corona, llegamos a la conclusión de que no hay ninguna línea de campo en el exterior. Si el campo eléctrico es nulo, la densidad de carga superficial también lo es. Por tanto, no hay carga en la superficie exterior del conductor, Q2 = 0.

Esto implica no que el conductor esté descargado, sino que, por el contrario, posee una carga no nula

Q_c = Q_1+ Q_2 = -q + 0 = -q\,

Numéricamente

Q_c = -18\,\mathrm{nC}

¿De dónde sale esta carga? La carga que aparece en el conductor por la presencia de la del hueco es atraída desde la tierra (el infinito) por la carga puntual y puede llegar porque el conductor no está aislado, sino unido por un cable a tierra.

El potencial al que se encuentran el conductor es nulo. El que tiene la carga no, ya que se encuentra sometida al potencial de la carga que hay en la pared del hueco

V'_q = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a}=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}

con valor

V'_q=-9\times 10^9\times\frac{18\times 10^{-9}}{12\times 10^{-2}}\,\mathrm{V}=-1350\,\mathrm{V}

El campo eléctrico en todo el espacio es

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r < a \\ & \\ \vec{0} & a < r < b \\ & \\ \vec{0} & r > b\end{cases}

y la energía electrostática del sistema vale

U_e = -\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0a}=-12.15\,\mu\mathrm{J}

Este caso es el ejemplo más claro de jaula de Faraday. Un observador situado en el exterior del conductor no percibe en absoluto la presencia de la carga puntual dentro del hueco.

4 Conductor descargado

En el segundo caso, el conductor está aislado (no conectado a nada) y descargado. Esto quiere decir que la carga es constante en todo momento, siendo su valor nulo

Q_c = Q_1+Q_2 = 0\,

Esto quiere decir que si sobre la pared del hueco aparece una carga q esta carga solo puede provenir de la superficie exterior (nunca del volumen en un conductor en equilibrio electrostático).

Q_1 = -q\qquad\qquad Q_2 = +q

Una vez que tenemos la carga, tenemos el resto de la información. El potencial en todos los puntos del espacio es

V = \begin{cases}\displaystyle\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) & r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b} & a < r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b\end{cases}

siendo su valor en el propio conductor

V_c = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}=675\,\mathrm{V}

y el campo

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r < a \\ & \\ \vec{0} & a < r < b \\ & \\ \displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b\end{cases}

Vemos que desde el exterior se percibe una carga q, aunque no se “ve” que haya un hueco o que la carga esté dentro del hueco. Solo se percibe una carga total q distribuida uniformemente por la superficie exterior del conductor. Esta es una jaula de Faraday imperfecta, en la que un observador exterior percibe el valor de la carga interior, pero no su posición ni distribución.

El potencial al que se encuentra la carga es

V'_q = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}=-675\,\mathrm{V}

La energía del sistema en este caso vale

U_\mathrm{e}=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)= -6.075\,\mu\mathrm{J}

5 Conductor a potencial fijado

En el tercer caso, tenemos que el potencial del conductor no es nulo, sino que tiene un valor fijado V0. Esto nos proporciona la carga del conductor

V_0=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0 b}\qquad\Rightarrow\qquad Q_2 = 4\pi\varepsilon_0 bV_0

Vemos que la carga en el exterior no depende en absoluto de la carga en el hueco, sino solo del voltaje al cual se encuentra el conductor.

La carga total del conductor es ahora

Q_c = Q_1+Q_2 = -q+4\pi\varepsilon_0 b V_0=-18\,\mathrm{nC}-0.32\,\mathrm{nC}=-18.32\,\mathrm{nC}

Sustituyendo nos queda el potencial en todos los puntos del espacio

V = \begin{cases}\displaystyle V_0+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}\right) & r \leq a \\ & \\ \displaystyle V_0 & a < r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{V_0b}{r} & r > b\end{cases}

y el campo eléctrico

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r < a \\ & \\ \vec{0} & a < r < b \\ & \\ \displaystyle \frac{V_0b}{r^2}\vec{u}_r & r > b\end{cases}

El potencial del conductor es el dato

V_c = -12\,\mathrm{V}

y el de la carga

V'_q = V_0-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0a}= (-12-1350)\,\mathrm{V}=-1362\,\mathrm{V}

siendo la energía almacenada

U_\mathrm{e}=2\pi\varepsilon_0 b V_0^2-\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 a}=-12.15\,\mu\mathrm{J}

Nótese que, aunque no esté a tierra, este caso también es una Jaula de Faraday perfecta. Un observador exterior no sabe nada del hueco ni de la carga que hay en él, y uno dentro del hueco sólo ve el campo de la carga, pero no percibe ninguna influencia exterior.

6 Conductor con carga fijada

Por último, tenemos el caso en que el conductor está aislado pero no descargado, sino que almacena una carga Q0. En este caso lo que tenemos es que la suma de las cargas de las dos superficies conductoras es igual a esta carga total

Q_1+Q_2=Q_0\qquad\Rightarrow\qquad Q_2 = Q_0 - Q_1 = Q_0+q= -18\,\mathrm{nC}

y sustituyendo en todas las demás expresiones tenemos el potencial

V = \begin{cases}\displaystyle\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) +\frac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0b}& r \leq a \\ & \\ \displaystyle\frac{q+Q_0}{4\pi\varepsilon_0 b} & a < r \leq b \\ & \\ \displaystyle\frac{q+Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r} & r > b\end{cases}

siendo el del conductor

V_c = \frac{Q_0+q}{4\pi\varepsilon_0b}=-675\,\mathrm{V}

el de la carga

V'_q = (-675-1350)\,\mathrm{V}=-2025\,\mathrm{V}

y el campo

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r < a \\ & \\ \vec{0} & a < r < b \\ & \\ \displaystyle \frac{q+Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r > b\end{cases}

siendo la energía total

U_\mathrm{e}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(Q_0+q)^2}{b}-\frac{q^2}{a}\right)=-6.075\,\mu\mathrm{J}

Si Q0 = 0 se reduce al caso del conductor descargado y si Q0 = − q al del conductor a tierra.

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