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Carga distribuida en un anillo (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un anillo de radio R se encuentra en el plano OXY con centro el origen de coordenadas. El anillo almacena una distribución de carga con densidad lineal

\lambda=\lambda_0\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)

siendo θ' el ángulo que forma con el eje OX el vector de posición de los puntos del anillo. Para esta distribución, halle

  1. La carga total almacenada
  2. El potencial eléctrico en el origen de coordenadas
  3. El campo eléctrico en el origen de coordenadas.

2 Carga total

La carga total es la suma de la de todos los elementos que forman el anillo

Q=\int_Q \mathrm{d}q=\int \lambdaº,\mathrm{d}\ell'=\int_{-\pi}^\pi \lambda_0\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)\,R\,\mathrm{d}\theta'

El resultado de esta integral es

Q=\lambda_0 R\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right)\mathrm{d}\theta'=\frac{\lambda_0 R}{2}\int_{-\pi}^\pi (1-\cos(\theta'))\mathrm{d}\theta'=\lambda_0\pi R

3 Potencial en el centro

Para el potencial en un punto del espacio, la expresión general es

V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q'}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|}

En este caso \vec{r}=\vec{0} ya que queremos el potencial en el centro del anillo. Por tanto

|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=|\vec{r}^{\,\prime}| = R

para todos los puntos del anillo. Por ello

V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q'}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0R}\int \mathrm{d}q'=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}=\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0}

4 Campo en el centro

El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se cacula mediante la integral

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})\mathrm{d}q'}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}}

Por la misma razón que para el potencial

\vec{E}(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0R^3}\int (-\vec{r}^{\,\prime})\mathrm{d}q'

Nótese que en el numerador si hay que mantener el vector \vec{r}^{\,\prime} ya que no es constante en la integral. Sólo su módulo lo es. Para los términos que aparecen

\vec{r}'=R\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \mathrm{d}q'=\frac{\lambda_0(1+\cos(\theta')}{2}R\,\mathrm{d}\theta'

lo que nos da

\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0}{8\pi\varepsilon_0R}\int_{-\pi}^\pi \left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\left(1+\cos(\theta')\right)\,\mathrm{d}\theta'=-\frac{\lambda_0}{8\varepsilon_0R}\vec{\imath}

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