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Carga, potencial y energía de un campo dado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el espacio vacío se ha detectado un campo electrostático con simetría esférica respecto de un punto fijo O, cuya función de campo viene dada por la expresión \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\mathbf{u}_{r}, con

E(r) = \begin{cases}E_0\displaystyle\frac{r}{a} & 0\leq r<a \\ & \\ E_0 & a< r < b \\ & \\ E_0\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^2 & b<r \end{cases}

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalúa el campo y E0, a y b$ son constantes conocidas.

  1. Determine cómo es la distribución de carga eléctrica que da lugar al campo descrito.
  2. Calcule la carga total de dicha distribución.
  3. Obtenga el valor del potencial eléctrico en O (\mathbf{r} = \mathbf{0}).
  4. ¿Cuánto vale la energía electrostática del sistema?

2 Solución

2.1 Distribución de carga

La expresión del enunciado define un campo irrotacional en todos los puntos del espacio, pues al presentar simetría radial \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\mathbf{u}_{r} se tendrá…

\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial E(r)}{\partial \varphi}\mathbf{u}_{\theta}-
\frac{1}{r}\frac{\partial E(r)}{\partial \theta}\mathbf{u}_{\varphi}=\mathbf{0}

En consecuencia, dicho campo sólo tendrá fuentes escalares que, por tratarse de un campo eléctrico, serán cargas eléctricas. El objetivo de este apartado es determinar cómo están distribuidas dichas cargas, lo cuál está directamente relacionado con la forma del campo eléctrico.

Como se sabe, en los puntos donde la función de campo presente una singularidad (el campo no toma un valor real) es porque hay una carga puntual qi o una distribución lineal de carga \lambda(\mathbf{r}). Una discontinuidad o salto en el valor del campo en los puntos de una superficie S indica que en ésta existe una distribución superficial de carga eléctrica \sigma_s(\mathbf{r}) tal que…

\sigma_s(P)=\varepsilon_0\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{E}]=\varepsilon_0\left(
\mathbf{E}(P^+)-\mathbf{E}(P^-)\right)\cdot\mathbf{n}

siendo \mathbf{n} el unitario normal a S que apunta al semiespacio donde se halla P + . Por otra parte, si en una región τ la función que define al campo eléctrico es continua y derivable se tendrá que, en general, existe una distribución volumétrica de carga eléctrica \rho(\mathbf{r}) que verifica…

\rho(\mathbf{r})=\varepsilon_0\nabla \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})

Las expresiones matemáticas que constituyen la función de campo toman valores reales en todos los puntos del espacio en que están definidas, por tanto no hay ni cargas puntuales ni distribuciones lineales de carga que actúen como fuentes de dicho campo eléctrico.

Como para r = a + y r = a, y para r = b + y r = b, el campo eléctrico se define de forma distinta, cabe la posibilidad de que en las superficies dados por r = a y r = b (superficies esféricas de radios a y b, respectivamente, y centro en O) existan sendas distribuciones superficiales de carga eléctrica. Puesto que tanto r = a como r = b son superficies coordenadas en esféricas para r constante, tendrán como vector normal \mathbf{n}=\mathbf{u}_{r}, por lo que se obtiene…

  • En la superficie r = a no hay carga eléctrica:
\sigma_s(r=a)=\varepsilon_0
\left(\mathbf{E}(r=a^+)-\mathbf{E}(r=a^-)\right)\cdot\mathbf{u}_{r}   \Rightarrow    \sigma_s(r=a) =\varepsilon_0\left(E_0-E_0\frac{a}{a}\right)=0
  • En la superficie esférica r = b la componente normal del campo verifica una discontinuidad (la misma en todos los puntos); por tanto, habrá carga eléctrica distribuida uniformemente:
\sigma_s(r=b)=\varepsilon_0
\left(\mathbf{E}(r=b^+)-\mathbf{E}(r=b^-)\right)\cdot\mathbf{u}_{r}   \Rightarrow   \sigma_s(r=b)=
\varepsilon_0\left(E_0\left(\frac{a}{b}\right)^2-E_0\right)
=\varepsilon_0 E_0\ \frac{a^2-b^2}{b^2}<0

Estas superficies esféricas dividen el espacio en tres regiones, en cada una de las cuáles el campo eléctrico es continuo y derivable. Aplicando la ley de Gauss en forma diferencial se obtiene cómo son las distribuciones volumétricas de carga:

\rho(\mathbf{r})=\frac{\varepsilon_0}{r^2\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial}\left(r^2\,\mathrm{sen}\,\theta
E(r)\right)   \Rightarrow    \rho(r)
=\frac{\varepsilon_0}{r^2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2E(r)\right)=
\begin{cases}\displaystyle\frac{3\varepsilon_0
E_0}{a}=\rho_0 & 0\leq r < a \\ & \\
\displaystyle\frac{2\varepsilon_0 E_0}{r} & a< r < b \\ & \\
0  & b < r\end{cases}

Es decir, en el interior de la esfera delimitada por la superficie r = a la carga eléctrica se distribuye uniformemente; entre ésta y la superficie r = b la densidad volumétrica de carga eléctrica es inversamente proporcional a la distancia al punto O, y en el exterior de la superficie r = b no hay carga eléctrica.

2.2 Carga total

La cantidad total de carga eléctrica puede obtenerse integrando las distribuciones calculadas en el apartado anterior. Sin embargo, existe un procedimiento mucho más simple mediante la ley de Gauss en su forma integral. Puesto que, como se ha comprobado anteriormente, toda la carga eléctrica está dentro de la esfera de radio b y sobre la superficie esférica que la delimita, la carga eléctrica total puede obtenerse a partir del flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada \partial\tau que contenga a la esfera de radio b y centro O. Dada la simetría esférica del campo, tomaremos una superficie esférica de radio R > b:

\left.\begin{array}{c}\displaystyle Q_\mathrm{total}=\varepsilon_0\ \oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot
\mathrm{d}\mathbf{S}\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}(R>b) = E_0\left(\frac{a}{R}\right)^2\mathbf{u}_r \\ \\ \displaystyle \mathrm{d}\mathbf{S}=R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{r}\end{array}\right\}   \Rightarrow   Q_\mathrm{total}=\varepsilon_0\int_{\partial\tau}\!E_0\left(\frac{a}{R}\right)^2\mathrm{d}S
=4\pi\varepsilon_0 E_0a^2

2.3 Potencial eléctrico en el origen

Puesto que el campo eléctrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) es irrotacional en todo el espacio, existe un campo escalar \phi(\mathbf{r}) llamado potencial electrostático tal que…

\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla\phi(\mathbf{r})   \Rightarrow    \mathrm{d}\phi=-\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}

En consecuencia,la diferencia entre los valores del potencial en dos puntos cualesquiera del espacio, A y B, se puede calcular como la circulación del campo eléctrico a lo largo del cualquier trayectoria cuyos extremos sean dichos puntos:

\phi(A)-\phi(B)=\int_A^B\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}

Puesto que en el enunciado se proporciona la expresión del campo eléctrico en todo el espacio, la expresión anterior puede utilizarse para calcular el valor del potencial en el centro de la distribución de carga, O, siempre que se conozca el valor de esta magnitud en algún punto. Y como el campo eléctrico decae con la ley del cuadrado de la distancia al punto O o, lo que es lo mismo, como toda la carga está localizada en un entorno próximo de O, se considera que dicha carga eléctrica no va a producir efectos en puntos infinitamente alejados de O; es decir,

\left.\begin{array}
{l}\displaystyle \lim_{r\longrightarrow\infty}|\mathbf{E}(\mathbf{r})|=0\\ \\ \displaystyle
\lim_{r\longrightarrow\infty}\phi(\mathbf{r})=0
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad \phi(O)=\int_O^\infty\!\mathbf{E}\cdot
\mathrm{d}\mathbf{r}

Como el camino de integración puede ser elegido arbitrariamente, con la única condición de que vaya desde un punto infinitamente alejado hasta el centro O, tomaremos como elemento de vector posición \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}r\,\mathbf{u}_{r} + r\,\mathrm{d}\theta\,\mathbf{u}_{\theta} + r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}. Por otra parte, como el campo eléctrico sólo tiene componente radial y presenta diferentes definiciones en función del rango de valores de r, se tendrá…

\phi(O)=\int_0^\infty\!E(r)\mathrm{d}r=
E_0\left(\frac{1}{a}\int_0^a\!r\,\mathrm{d}r\ + \int_a^b\!\!\mathrm{d}r\ +a^2\int_b^\infty\!\!\frac{\mathrm{d}r}{r^2}\right)=\frac{E_0}{b}\left(a^2-\frac{ab}{2}+b^2\right)

Un método alternativo para hallar el potencial en el centro de la esfera es mediante la integración directa. El potencial en un punto del espacio es

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\int_\tau \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau' +
\int_S \frac{\sigma_s(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}S'\right)

más términos debidos a distribuciones lineales y puntuales si los hubiera, lo que no es el caso.

En este sistema tenemos una densidad de carga de volumen dividida en dos regiones con expresiones, y una densidad superficial en la esfera r = b.

Separando las integrales resulta (teniendo en cuenta que \mathbf{r}=\mathbf{0})


\phi(\mathbf{0}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\int_{r<a}\frac{3\varepsilon_0 E_0}{a r'}r'^2\,\mathrm{d}r'\,
\mathrm{d}\Omega'+ \int_{a<r<b}\!\! \frac{2\varepsilon_0 E_0}{r'^2}r'^2\,\mathrm{d}r'\,
\mathrm{d}\Omega'+\int_{r=b}\frac{\varepsilon_0 E_0(a^2-b^2)}{b^3}b^2\,
\mathrm{d}\Omega'\right)

donde dΩ' es el diferencial de ángulo sólido

\mathrm{d}\Omega' = \mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{d}\Omega'\,\mathrm{d}\varphi'

Las integrales angulares dan todas un factor , ya que los integrandos sólo dependen de r, por lo que el cálculo se reduce a hallar las integrales radiales (en la superficial ni siquiera eso)

\phi(\mathbf{0}) = E_0\left(\int_0^a \frac{3}{a} r'\,\mathrm{d}r'+\int_a^b
2\,\mathrm{d}r' + \frac{a^2-b^2}{b}\right) =
E_0\left(\frac{3a}{2}+2(b-a)+\frac{a^2-b^2}{b}\right) = \frac{E_0}{b}
\left(a^2-\frac{ab}{2}+b^2\right)

2.4 Energía electrostática del sistema

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