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Capacidad de un condensador cilíndrico GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior R1, radio exterior R2 y longitud L suponiendo que R_1<R_2\ll L.

Si se sumerge parcialmente en líquido dieléctrico lineal, ¿cuál es su nueva capacidad? ¿Cómo cambia la energía acumulada en el condensador?

Archivo:cond_cilind.gif

2 Solución

El condensador cilíndrico o coaxial está formado por dos superficies conductoras cilíndricas coaxiales C1 y C2, de radios R1 y R2, respectivamente, separadas por un espacio que, inicialmente, consideraremos vacío. Ambas tienen igual longitud L, que deberá ser significativamente mayor que los radios de las superficies para poder considerar que las cargas eléctricas se distribuyen uniformemente en ellas. Además, para poder asegurar que se encuentran en influencia total o próximos a ella (requisito para que formen un condensador), es conveniente que la distancia de separación entre las placas sea suficientemente menor que el radio de la superficie interior; es decir, R_2-R_1\ll R_1.

Para describir analíticamente el espacio, adoptaremos un sistema de referencia cuyo eje OZ coincide con el eje de simetría coaxial de los conductores, de manera que cada punto del espacio puede determinarse por su distancia ρ a dicho eje, además de la “altura” z (con signo) del punto respecto del plano “horizontal” arbitrario OXY, y por el ángulo \varphi que forma el plano “vertical” que contiene al punto con la dirección OX.

2.1 Capacidad eléctrica del condensador coaxial

2.1.1 Distribuciones de carga y campo eléctrico

Si se cumplen las condiciones geométricas expresadas anteriormente, cuando las placas se encuentran cargadas y a diferente potencial, todas las líneas de campo eléctrico que salen de la superficie C1 terminan en la C2. Esto se traduce en que ambas superficies van a almacenar cantidades opuestas de carga eléctrica. Además, la verificación simultánea de las condiciones geométricas

R_2-R_1\ll R_1\ll L

nos permite realizar una serie de simplificaciones sobre cómo van a distribuirse las cargas en las superficies conductoras y cómo es el campo eléctrico en el sistema, sin que estas aproximaciones afecten significativamente al resultado que obtendremos para la capacidad eléctrica. Así, consideraremos que una cantidad Q de carga en el conductor interior C1 se distribuirá uniformemente en la superficie de este se distribuirá uniformemente en la superfie enfrentada al C2. Y por estar en influencia total, en la correspondiente superficie de este conductor existirá una cantidad opuesta de carga, también distribuida uniformemente. Es decir, en las superficie enfrentadas de C1 y C2 existen sendas densidades superficiales de carga, constantes:

\sigma_e\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}_1}=\frac{Q}{2\pi R_1 L }\ \mathrm{;}\quad\quad \sigma_e\big\rfloor_{\partial\mathrm{C}_2}=-\frac{Q}{2\pi R_2 L }\,\mathrm{,}\,

despreciándose las acumulaciones de carga en los bordes de dichas superficies (efectos de borde). Observese que si el conductor C2 es una “corteza” esférica, existirá otra superficie cilíndrica conductora exterior, \partial\mathrm{C}_2^\mathrm{ext} de radio mayor que R2, en la que también podría almacenarse carga eléctrica (por ejemplo, en caso de que este conductor estuviese inicialmente descargado y aislado). Sin embargo, el condensador cilíndrico objeto de estudio es el constituido, únicamente, por la superficie \partial\mathrm{C}_1 (de radio R1) y la interior \partial\mathrm{C}_2 (de radio R2) del conductor C2.

Si las distribuciónes de carga en dichas superficies son uniformes, crearán un campo eléctrico, cuya intensidad en cada punto P del espacio vacío que las separa sólo va a ser función de la distancia a las superficies, o lo que es lo mismo, de la distancia ρ entre el punto y el eje coaxial OZ. En puntos fuera de la región comprendida entre las superficies \partial\mathrm{C}_1 y \partial\mathrm{C}_2, podemos considerar que el campo eléctrico va a ser nulo. Obsérvese que esto es estrictamente cierto en el interior de los conductores, ya que consideramos que se hallan en equilibrio electrostático. Por otra parte, la hipótesis de influencia total implica que, lejos del sistema, el campo eléctrico creado por las cargas en el condensador debe ser despreciable. Esto se ve reforzado por la condición de pequeña separación entre los conductores, que nos asegura que prácticamente sólo va a existir campo eléctrico entre las superficies conductoras. Se tendrá, por tanto,

|\mathbf{E}(\mathbf{r})|=\begin{cases}E(\rho)\,\mathrm{;}&R_1<\rho<R_2\,\;\;\mathrm{y}\,\;\;0<z<L \\ \\ 0\,\mathrm{;}& R_2<\rho\,\;\; \acute{\mathrm{o}}\,\;\;0>z>L \end{cases}

donde se considera que el condensador descansa sobre el plano OXY. Nótese que si el campo eléctrico exterior es nulo, la superficie exterior del conductor C2 debe estar descargada.

Archivo:cond_cilind_1.gif

En cuanto al potencial electrostático, si la carga está uniformemente distruida en ellas y se desprecian los efectos de la acumulación de carga en sus bordes, el potencial en los puntos situados entre las superficies conductoras sólo va a dependender de su distancia a las superficies y, en consecuencia, de la distancia ρ al eje OZ. Por tanto, las superficies equipotenciales Σk serán coaxiales con la superficies conductoras, que también serán equipotenciales:

V(\mathbf{r})=V(\rho)\quad\Longrightarrow\quad\Sigma_k:\ V(\rho=R_k)=V_k\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\,

Y como el campo eléctrico es colineal con el gradiente del potencial, tendrá la dirección del vector unitario \mathbf{u}_\rho perpendicular en cada punto P a la superficie equipotencial en dicho punto. Para determinar la expresión del campo eléctrico entre las placas, en función del valor de las distribuciones de carga, aplicamos la ley de Gauss en una superficie gaussiana cilíndrica \partial\tau, cuya superficie lateral de radio ρ (mayor que R1 y menor que R2), coincide con una de las equipotenciales. Si, además, la altura y disposición de la superficie cerrada \partial\tau es tal que en su interior incluye a todo el conductor C1 y, por tanto, a toda la carga Q, se tendrá:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(\rho)\!\ \mathbf{u}_\rho\,\mathrm{,}\,\;\,\mathrm{tal}\,\;\;\mathrm{que}\quad\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=2\pi\rho L\ E(\rho)=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0L\!\ \rho}\ \mathbf{u}_\rho

Insistiremos en que este resultado ha sido consecuencia de despreciar los efectos de borde en el condensador; es decir, considerar que la carga se distribuye uniformemente en los conductores, que sólo hay campo eléctrico apreciable entre las superficies conductoras enfrentadas y que allí tiene la dirección de \mathbf{u}_\rho en cada punto.

2.1.2 Diferencia de potencial y capacidad eléctrica

Sean V1 y V2 los valores del potencial correspondientes a las superficies equipotenciales que coinciden con las superficies conductoras \partial\mathrm{C}_1 y \partial\mathrm{C}_2, respectivamente. La diferencial de potencial entre ambas superficies es igual a la circulación del campo eléctrico entre ambas superficies, independientemente del campo seguido. Evaluemos dicha circulación siguiendo una línea Γ de campo eléctrico. Es decir, el \mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_\Gamma pasará de una superficie equipotencial a otra infinitamente próxima, en la dirección \mathbf{u}_\rho perpendicular a éstas y variando sólo el valor de la distancia ρ:

\mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_\Gamma=\mathrm{d}\rho\!\ \mathbf{u}_\rho\quad\Longrightarrow\quad V_1-V_2=\int_{\partial\mathrm{C}_1}^{\partial\mathrm{C}_2}\! \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}_{{}_\Gamma}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\!\ L}\int_{R_1}^{R_2}\!\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\!\ L}\ \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)

Por definición, la capacidad eléctrica del condensador es la relación entre la cantidad de carga eléctrica distribuida en uno de los conductores y la diferencia de potencial existente entre ellos. Aplicándola en la anterior expresión para la diferencia de potencial, se obtiene, la capacidad en vacío

C_0=\frac{Q}{V_1-V_2}=\frac{2\pi\varepsilon_0\!\ L}{\ln(R_2/R_1)}

2.2 Capacidad del condensador parcialmente relleno de dieléctrico

Consideremos al condesador cilíndrico parcialmente sumergido, hasta una altura h, en un líquido dieléctrico ideal de constante dieléctrica κ. Como sabemos, el dieléctrico cambiará la capacidad eléctrica (y por tanto, la relación entre carga almacenada y diferencia de potencial), de la parte del condensador sumergida. Por tanto, podemos considerar el sistema como una asociación de dos condensadores cilíndricos de idénticos radios interior y exterior, uno de longitud Lh y vacío entre los conductores (condensador “a”), y otro de longitudes h y relleno de dieléctrico (condensador “b”). Asumiendo que en estos condensadores se siguen verificando las condiciones geométricas contempladas en el apartado 2.2.1, sus respectivas capacidades eléctricas serán:

C_0^\mathrm{a}=\frac{Q_\mathrm{a}}{V_1-V_2}=\frac{2\pi\varepsilon_0\!\ (L-h)}{\ln(R_2/R_1)}\,\mathrm{;}\,\qquad C^\mathrm{b}=\frac{Q_\mathrm{b}}{V_1-V_2}=\kappa\!\ C_0^\mathrm{b}=\frac{2\pi\kappa\varepsilon_0\!\ h}{\ln(R_2/R_1)}

 

Archivo:cond_cilind_2.gif

Como tanto el conductor C1 como el C2 son comunes a ambos condensadores, en la asociación ambos condensadores presentarán idéntica diferencia de potencial (dos parejas de conductores equipotenciales) tratándose, por tanto, de una asociación en paralelo. En consecuencia, la capacidad eléctrica equivalente de la asociación será igual a la suma de las capacidades de los condensadores “a” y “b”:

C_\mathrm{diel}=C_0^\mathrm{a}+C^\mathrm{b}=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(R_2/R_1)}\ \big[L+h(\kappa-1)\big]>C_0

pues, para todo dieléctrico lineal, la constante dieléctrica es un número mayor que la unidad. Es decir, al rellenarse parcialmente del líquido dieléctrico, la capacidad del condensador coaxial aumenta.

En cuanto a la energía eléctrica que almacena, va a depender de cómo se halla cargado el condensador. Si el condensador en vacío se halla cargado y aislado con una cantidad de carga Q0 constante, la energía almacenada disminuirá al llenarse parcialmente de líquido dieléctrico:

U_e^0=\frac{Q_0^2}{2\ C_0} > \frac{Q_0^2}{2\ C_\mathrm{diel}}=U_e^\mathrm{diel}

Esto significa que el campo eléctrico del condensador ha realizado trabajo al llenarse de dieléctrico, gastando en ello parte de la energía inicialmente acumulada.

Por el contrario, si los conductores están a una diferencia de potencial constante ΔV0 cuando se sumerge el condensador en el líquido, se tendrá,

U_e^0=\frac{C_0}{2}\ \big(\Delta V_0\big)^2 < \frac{C_\mathrm{diel}}{2}\ \big(\Delta V_0\big)^2=U_e^\mathrm{diel}

Es decir, la energía almacenada en el sistema aumenta al llenarse de líquido dieléctrio, lo que implica la realización de un trabajo externo para llevar a cabo el proceso.

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