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Campos escalares en diferentes sistemas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

  1. \phi = (x^2+y^2+z^2)/2\,
  2. \phi = (2z^2-x^2-y^2)/2\,
  3. \phi = (z\cos\varphi)/\rho
  4. \phi = \cot\theta - \tan\theta\,

2 Solución

No hay más que sustituir las relaciones entre los diferentes sistemas.

2.1 Primer campo

En el primer caso tenemos

\phi = \frac{x^2+y^2+z^2}{2} = \frac{\rho^2+z^2}{2} = \frac{r^2}{2}

2.2 Segundo campo

El segundo caso es similar al primero

\phi = \frac{2z^2-x^2-y^2}{2} = \frac{2z^2-\rho^2}{2} = \frac{r^2(3\cos^2\theta-1)}{2}

En otros problemas de fundamentos matemáticos se realizan cálculos adicionales con estos dos mismos campos.

2.3 Tercer campo

En el tercer caso, para pasar a cartesianas, conviene multiplicar y dividir por ρ.

\phi = \frac{z\cos\varphi}{\rho} = \frac{z(\rho\cos\varphi)}{\rho^2} = \frac{zx}{x^2+y^2}

y para pasar a esféricas basta con sustituir

\phi = \frac{r\cos\theta\cos\varphi}{r\,\mathrm{sen}\,\theta} = \cot\theta\cos\varphi

2.4 Cuarto campo

Para el último basta aplicar la relación

\tan\theta = \frac{\rho}{z}

con lo que queda

\phi = \cot\theta-\tan\theta = \frac{z}{\rho}-\frac{\rho}{z} = \frac{z^2-\rho^2}{\rho z}

y, en cartesianas,

\phi =  \frac{z^2-\rho^2}{\rho z} =  \frac{z^2-x^2-y^2}{z\sqrt{x^2+y^2}}

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