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Campos equiproyectivos y campo de momentos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado del teorema

Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.

2 Demostración

2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos

La condición de equiproyectividad para un campo vectorial \vec{v}(\vec{r}) puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos \vec{r}_1 y \vec{r}_2 se verifica

\vec{v}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{v}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)

se trata de demostrar que si se cumple esta condición, \vec{v}(\vec{r}) puede escribirse en la forma

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}

Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto \vec{0} y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios \vec{\imath}, \vec{\jmath} y \vec{k}.

2.1.1 Referencia al origen

Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo

\vec{u}(\vec{r}) = \vec{v}(\vec{r})-\vec{v}(\vec{0})

Este campo cumple

\vec{u}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)= \vec{u}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)        \vec{u}(\vec{0})=\vec{0}

2.1.2 Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen

Si aplicamos la condición de equiproyectividad de \vec{u} a los dos puntos \vec{r}_1=\vec{\imath} y \vec{r}_2=\vec{0} nos queda

\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\vec{\imath} = \vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{\imath} = 0

esto quiere decir que \vec{u}(\vec{\imath}) es ortogonal a \vec{\imath}, esto es, no posee componente X y puede escribirse como

\vec{u}(\vec{\imath}) = a\vec{\jmath} + b\vec{k}

Aplicando el mismo razonamiento a \vec{\jmath} y a \vec{k} nos queda

\vec{u}(\vec{\jmath}) = c\vec{\imath} + d\vec{k}        \vec{u}(\vec{k}) = e\vec{\imath} + f\vec{\jmath}

2.1.3 Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base

La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos \vec{\imath} y \vec{\jmath}. En este caso tenemos

\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)   \Rightarrow   -a = c\,

Operando igualmente con los otros dos pares nos queda

-b = e\,        -d = f\,

Si llamamos

\omega_x = d = -f\,        \omega_y = e = -b\,        \omega_z = a = -c\,

el valor de \vec{u} en \vec{\imath}, \vec{\jmath} y \vec{k} se escribe

\vec{u}(\vec{\imath}) = \omega_z\vec{\jmath}-\omega_y\vec{k}        \vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}        \vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}

2.1.4 Aplicación a un punto genérico

Si ahora aplicamos la condición de equiproyectividad a un punto cualquiera

\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}    \vec{u}(\vec{r})=u_x\vec{\imath}+u_y\vec{\jmath}+u_z\vec{k}

y al origen nos queda

\vec{u}(\vec{r})\cdot\vec{r}=\vec{u}(\vec{0})\cdot\vec{r}= 0

esto es, que el campo en cada punto es ortogonal al vector de posición de dicho punto.

Si ahora aplicamos la condición al mismo punto \vec{r} y al punto \vec{\imath} tenemos

\vec{u}(\vec{r})\cdot\left(\vec{r}-\vec{\imath}\right)=\vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{r}-\vec{\imath}\right)   \Rightarrow    -u_x=\omega_zy-\omega_yz\,

y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base

-u_y=-\omega_zx-\omega_xz\,    -u_z=\omega_yx-\omega_xy\,

esto es

\vec{u}(\vec{r}) = \left(\omega_yz-\omega_zy\right)\vec{\imath}+\left(\omega_zx-\omega_xz\right)\vec{\jmath}+\left(\omega_xy-\omega_yx\right)\vec{k}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|=\vec{\omega}\times\vec{r}

y volviendo a nuestro campo original, \vec{v}

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}(\vec{0}) +\vec{\omega}\times\vec{r}

2.2 Campo de momentos implica campo equiproyectivo

La demostración en el sentido opuesto es bastante más simple. Si para todo \vec{r} se cumple

\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}

entonces, para dos puntos cualesquiera se verifica

\vec{v}(\vec{r}_2)=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_2    \vec{v}(\vec{r}_1)=\vec{v}_0 +\vec{\omega}\times\vec{r}_2

Restando

\vec{v}(\vec{r}_2)-\vec{v}(\vec{r}_1)=\vec{\omega}\times\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)

El segundo miembro es ortogonal a \vec{r}_2-\vec{r}_1, por lo que

\left(\vec{v}(\vec{r}_2)-\vec{v}(\vec{r}_1)\right)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=0

y separando los términos

\vec{v}(\vec{r}_2)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=\vec{v}(\vec{r}_1)\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)

esto es, es equiproyectivo.

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