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Campo y carga de un potencial conocido

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuación

\phi = V_0 \mathrm{e}^{-k \left|y\right|}\cos(k x)

con k y V0 constantes.

  1. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  2. Calcule la densidad de carga que crea este campo eléctrico.

2 Solución

2.1 Campo eléctrico

Para calcular el campo debemos hallar el gradiente del potencial, cambiado de signo.

\mathbf{E}=-\nabla\phi\,

Para esto es conveniente separa el potencial en dos regiones

\phi = \begin{cases}V_0 \mathrm{e}^{ky}\cos(kx) & y < 0 \\ & \\ V_0 \mathrm{e}^{-ky}\cos(kx) & y > 0 \end{cases}

Hallando ahora el gradiente en cada región tenemos,

\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathbf{u}_x-\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathbf{u}_y=
\begin{cases}V_0k\mathrm{e}^{ky}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x-\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y < 0 \\ & \\
V_0k\mathrm{e}^{-ky}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\cos(kx)\mathbf{u}_y\right) & y > 0\end{cases}

o, agrupando los dos casos

\mathbf{E}=V_0k\mathrm{e}^{-k|y|}\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\sgn(y)\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)

2.2 Densidad de carga

2.2.1 Volumétrica

La densidad de carga de volumen la obtenemos por aplicación de la ley de Gauss en forma diferencial

\rho = \varepsilon_0 \nabla\cdot \mathbf{E} = \varepsilon_0\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial y}\right)

Para hallar esta cantidad volvemos a descomponer en los dos semiespacios. Para y > 0 tenemos

\mathbf{E} = V_0k\left(\mathrm{e}^{-ky}\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\mathrm{e}^{-ky}\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)


\rho = \varepsilon_0 V_0 k \left(k\mathrm{e}^{-ky}\cos(kx)-k\mathrm{e}^{-ky}\cos(kx)\right) = 0

y para y < 0

\mathbf{E} = V_0k\left(\mathrm{e}^{ky}\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x-\mathrm{e}^{ky}\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)


\rho = \varepsilon_0 V_0 k \left(k\mathrm{e}^{ky}\cos(kx)-k\mathrm{e}^{ky}\cos(kx)\right) = 0

Por tanto, la densidad de carga de volumen es nula en todos los puntos del espacio. Puesto que el campo no es nulo, y además se anula en el infinito, es claro que debe haber alguna densidad de carga adicional. Esta densidad es la superficial, que se encuentra en las superficies donde el campo es discontinuo.

2.2.2 Superficial

La densidad de carga superficial sólo puede estar presente en las superficies de discontinuidad, siendo su valor

\sigma_s = \varepsilon_0 \mathbf{n}\cdot\left[\mathbf{E}\right]

En nuestro caso, el único salto en el campo eléctrico se da en y = 0, a cuyos lados el campo vale

\mathbf{E}(y=0^+) = V_0k\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x+\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)
\mathbf{E}(y=0^-) = V_0k\left(\mathrm{sen}(kx)\mathbf{u}_x-\cos(kx)\mathbf{u}_y\right)

Vemos que la componente tangencial (en la dirección de \mathbf{u}_x) es continua, mientras que la normal (en la dirección de \mathbf{u}_y) cambia de signo. La densidad superficial de carga vale

\sigma_s = \varepsilon_0\mathbf{u}_y\cdot\left(\mathbf{E}(y=0^+)-\mathbf{E}(y=0^-)\right) = 2\varepsilon_0kV_0\cos(kx)

La distribución de carga a lo largo del plano y = 0 es sinusoidal, con zonas donde la carga es positiva y zonas donde los es negativa. Las líneas de campo reflejan este hecho, descirbiendo arcos que van desde las zonas cargadas positivamente a las de signo opuesto.

Imagen:planoseno.png

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