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Campo producido por una espira poligonal

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Por las espira de formas irregulares de las figuras circula una corriente I. Halle el valor del campo en el punto P en cada caso.

Imagen:romboideB.png        Imagen:espiracubo.png

Para cada una de las espiras, hállese su momento magnético y la expresión del campo magnético y del potencial vector en puntos alejados de la espira.

2 Cuadrilátero

2.1 Campo en P

El campo es la suma de las contribuciones de cada uno de los lados del cuadrilátero. El campo de un segmento puede calcularse por integración directa, resultando la expresión

\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}

donde α1 y α2 son los ángulos con que se ven los extremos del segmento desde P, ρ es la distancia de P a la recta soporte del segmento y \mathbf{n} la normal al plano definido por el segmento y P, orientado según la regla de la mano derecha.

El punto P se encuentra en la intersección de la prolongación de dos de los lados. Por estar fuera de estos segmentos, la contribución de esos dos lados es nula.

Quedan las contribuciones de los otros dos lados.

Para el lado situado a una distancia a tenemos que

\rho=a\,        \alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}        \alpha_2=0\,        \mathbf{n}=-\mathbf{u}_z\,

\mathbf{n} es el vector perpendicular al plano de la espira, hacia adentro de la pantalla. La contribución de esta lado es

\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)(-\mathbf{u}_z)=-\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi a}\mathbf{u}_z

Para el lado situado a una distancia b tenemos que

\rho=b\,        \alpha_1=-\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\beta-\frac{\pi}{2}        \alpha_2=0\,        \mathbf{n}=+\mathbf{u}_z\,

La contribución de esta lado es

\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi b}\left(\,\mathrm{sen}\left(0\right)-\,\mathrm{sen}\left(\beta-\frac{\pi}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi b}\mathbf{u}_z

y el campo en P

\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\cos\beta}{4\pi}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\mathbf{u}_z

Puesto que a < b, este campo va hacia adentro de la pantalla.

2.2 Momento magnético

El momento magnético de una espira plana es

\mathbf{m}=IS\mathbf{n}

Siendo S el área de la porción de plano limitada por la curva y n la normal a éste (con el sentido asignado por la regla de la mano derecha.

El área de esta figura es la de un triángulo rectángulo menos la de otro triángulo rectángulo semejante

S = \frac{1}{2}bh-\frac{1}{2}ah'

con h y h' las longitudes de los lados 2 y 4. Por trigonomtría

\frac{b}{h}=\frac{a}{h'}=\,\mathrm{tg}\,\beta

y

\mathbf{m}=\frac{I(b^2-a^2)\,\mathrm{cotg}\,\beta}{2}\mathbf{u}_z

El campo en puntos alejados el potencial vector es el de un dipolo

\mathbf{A}=\frac{\mu_0m\,\mathrm{sen}\,\theta}{4\pi r^2}\mathbf{u}_\varphi

El campo correspondiente es

\mathbf{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta)

3 Espira alabeada

3.1 Campo en P

En el segundo caso tenemos las contribuciones de seis tramos. El punto P se encuentra a la misma distancia a de los seis tramos.

Para las contribuciones de cada tramo, debemos distinguir entre dos casos.

Consideremos los dos tramos situados en el plano XY. Para el primero (en el sentido de la corriente) tenemos que

\alpha_1=0\,        \alpha_2=\frac{\pi}{4}        \mathbf{n}=\mathbf{u}_z

con lo que su contribución al campo magnético es

\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z

Para el segundo tramo del mismo plano, se cumple

\alpha_1=-\frac{\pi}{4}\,        \alpha_2=0\,        \mathbf{n}=\mathbf{u}_z

y el campo debido a este segmento en P es

\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\left(0-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\mathbf{u}_z=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{8\pi a}\mathbf{u}_z

esto es, la misma que para el primer segmento.

Del mismo modo se opera para el resto de segmentos, donde lo único que cambia en cada caso es la dirección del vector normal, resultando el campo magnético total en P

\mathbf{B}=\frac{\mu_0I\sqrt{2}}{4\pi a}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)

3.2 Momento magnético

El momento magnético de esta espira es

\mathbf{m}=I\mathbf{S}\,

con \mathbf{S} el vector superficie que, para una curva alabeada es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones d ela curva sobre los tres planos coordenados. Para esta quebrada, las proyecciones son sendos cuadrados de lado a. Por ello

\mathbf{m}=I\mathbf{S}\,=Ia^2(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)

Para el campo en puntos alejados sustituimos en la expresión general

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5} 
=\frac{\mu_0Ia^2}{4\pi r^5}(3(x+y+z)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)-(x^2+y^2+z^2)(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z))

Agrupando por componentes

\mathbf{B}
=\frac{\mu_0Ia^2}{4\pi r^5}((2x^2+3xy+3xz-y^2-z^2)\mathbf{u}_x+(2y^2+3xy+3yz-x^2-z^2)\mathbf{u}_y+(2z^2+3xz+3yz-x^2-y^2)\mathbf{u}_z)

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