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Campo magnético en el centro de un rectángulo

De Laplace

1 Enunciado

A partir del resultado del problema “Campo magnético debido a un segmento”, halle el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados b y h por la cual circula una corriente I0.

2 Solución

Aplicando el principio de superposición, podemos calcular el campo magnético en el centro del rectángulo como la suma de los campos debidos a cada uno de los lados. Para cada uno se cumple la fórmula

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{u}_\theta

En nuestro caso, situamos el rectángulo con su centro en el origen de coordenadas y los lados paralelos a los ejes OX y OY, de manera que la corriente circula según la regla de la mano derecha respecto a OZ (es decir, si con los dedos de la mano derecha seguimos la corriente, el pulgar apunta en el sentido del eje OZ positivo).

Sea 1 el lado de longitud h paralelo a OY. El centro del rectángulo se halla a una distancia b/2 del segmento. El vector \vec{u}_\theta en ese punto, según la regla de la mano derecha, no es otro que \vec{k} (poniendo el pulgar en el sentido de la corriente, el resto de dedos de la mano derecha dan el sentido del campo magnético). El seno del ángulo con el que se ve el extremo final lo da la diagonal del cuadrado

\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}

y el ángulo α1 es el mismo, pero cambiado de signo.

\mathrm{sen}(\alpha_1)=-\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}

Llevando todo esto a la expresión del campo queda

\vec{B}_1=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b/2)}\left(2\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}\right)\vec{k}=\frac{\mu_0I_0}{\pi}\,\frac{h}{b\sqrt{b^2+h^2}}\vec{k}

Cuando se hace lo mismo para el lado “2” de longitud b y paralelo a OX, el resultado es idéntico, sin más que intercambiar los papeles de b y h. Esto da

\vec{B}_2=\frac{\mu_0I_0}{\pi}\,\frac{b}{h\sqrt{b^2+h^2}}\vec{k}

Para el tercer lado, de nuevo paralelo al eje OY, el campo que resulta es el mismo que para el lado 1.

\vec{B}_3=\vec{B}_1=\frac{\mu_0I_0}{\pi}\,\frac{h}{b\sqrt{b^2+h^2}}\vec{k}

Obsérvese que la regla de la mano derecha indica que los dos hilos paralelos, por los cuales circulan intensidades en setidos opuestos producen campos en el mismo sentido (no en el opuesto).

Por último, para el cuarto lado

\vec{B}_4=\vec{B}_2=\frac{\mu_0I_0}{\pi}\,\frac{b}{h\sqrt{b^2+h^2}}\vec{k}

Si sumamos los cuatro lados nos queda

\vec{B}=\vec{B}_1+\vec{B}_2+\vec{B}_3+\vec{B}_4=\frac{2\mu_0 I_0}{\pi\sqrt{b^2+h^2}}\left(\frac{h}{b}+\frac{b}{h}\right)\vec{k}=\frac{2\mu_0I_0\sqrt{b^2+h^2}}{\pi b h}\vec{k}

2.1 El caso del cuadrado

En el caso particular b = h esta expresión se reduce al

\vec{B}=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I_0}{\pi b}\vec{k}

Para una espira de 20 cm de lado y por la que circula una intensidad de corriente 1 A, el campo magnético en el centro de la espira vale

\vec{B}=\frac{2\sqrt{2}\times 4\pi\times 10^{-7}\times 1}{\pi\times 2\times 10^{-1}}\,\mathrm{T}\vec{k}=5.65\,\mu\mathrm{T}\,\vec{k}

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