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Campo magnético en el centro de un polígono

De Laplace

1 Enunciado

A partir del resultado del problema “Campo magnético debido a un segmento” halle el campo magnético en el centro de un polígono regular de N lados y apotema b, por el cual circula una intensidad de corriente I0. ¿A qué tiende este resultado en el caso de una espira circular (N→∞)?

2 Solución

Cada uno de los lados del polígono regular produce el mismo campo en el centro del polígono, siendo este campo perpendicular al plano del polígono y orientado según la regla de la mano derecha.

\vec{B}=N\vec{B}_i=N\frac{\mu_0 I_0}{4\pi b}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{k}

La distancia del centro a cada segmento es b, la apotema del polígono. El ángulo α2 es la mitad del que resulta de dividir la circunferencia en N partes, es decir:

\alpha_2=\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{N}\right)=\frac{\pi}{N}

El ángulo α1 es igual en valor, pero de signo contrario. Por tanto, el campo en el centro del polígono vale

\vec{B}=N\vec{B}_i=\frac{\mu_0 N I_0}{2\pi b}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{N}\right)\vec{k}

En el límite N→∞ tenemos

\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{N}\right)\simeq \frac{\pi}{N}\qquad\qquad (N\gg 1)

y

\vec{B}\simeq\frac{\mu_0 N I_0}{2\pi b}\left(\frac{\pi}{N}\right)\vec{k}=\frac{\mu_0 I_0}{2 b}\vec{k}

que es el campo en el centro de una espira circular.

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