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Campo magnético debido a una corriente

De Laplace

Contenido

1 Introducción

Al estudiar la ley de Lorentz se describe la acción que un campo magnético produce sobre una carga en movimiento o un conjunto de ellas. La siguiente cuestión es quién produce dicho campo magnético.

De acuerdo con la simetría establecida por Ampère, del mismo modo que las cargas en movimiento experimentan el campo magnético, también son su causa.

La corrientes eléctricas, no obstante, no son la única causa de campo magnético; los dipolos magnéticos inherentes a cada partícula, también generan campos magnéticos.

2 Campo producido por una carga en movimiento

2.1 Expresión del campo

Para una carga puntual que se encuentra instantáneamente en el punto \mathbf{r}' moviéndose con velocidad instantánea \mathbf{v}', mucho menor que la de la luz, el campo magnético que produce en todos los puntos del espacio vale

\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\mathbf{v}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}

siendo \mathbf{r}_0 la posición instantánea de la carga. μ0 es una constante denominada permeabilidad del vacío, cuyo valor en el SI es \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{T}{\cdot}\mathrm{m}/\mathrm{A}.

Si expresamos este campo en coordenadas cilíndricas, tomando el origen en la propia carga y el eje Z en la dirección de la velocidad nos queda la expresión

\mathbf{B}=\frac{\mu_0 q(v\mathbf{u}_z)\times(\rho\mathbf{u}_\rho+z\mathbf{u}_z)}{4\pi(\rho^2+z^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0qv\rho\mathbf{u}_\varphi}{4\pi(\rho^2+z^2)^{3/2}}

El campo de una carga en movimiento describe circunferencias en torno al movimiento de la carga, ya que va en la dirección acimutal. En los puntos del eje (salvo en la propia carga) este campo es nulo (ya que ρ = 0).

2.2 El magnetismo y la 3ª ley de Newton

Combinando la ecuación anterior con la ley de Lorentz resulta para la fuerza magnética que la carga 1 (en movimiento) produce sobre la 2 (también en movimiento) la expresión

\mathbf{F}_{\mathrm{m}21} = \frac{\mu _0}{4\pi}\,\frac{q_1q_2\mathbf{v}_2 \times \left(\mathbf{v}_1 \times \left(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \right) \right)}{\left|\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 \right|^3}

Esta fuerza es extraña porque no verifica el principio de acción y reacción

\mathbf{F}_{\mathrm{m}21} \neq \mathbf{F}_{\mathrm{m}12}

Un caso sencillo en el que esto ocurre es el de dos cargas moviéndose en direcciones perpendiculares.

La 3ª ley de Newton es necesaria para que se conserve la cantidad de movimiento, \mathbf{p}. Si las fuerzas no se anulan exactamente

\mathbf{p}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2\,   \Rightarrow      \Rightarrow   \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}\neq\mathbf{0}

La conservación de la cantidad de movimiento (como la de la energía, que también depende de esta ley) es uno de los puntales de la Física. ¿Cómo se resuelve este conflicto? Considerando una cantidad de movimiento total, que además de incluir las dos partículas, incorpora una contribución del campo electromagnético \mathbf{p}_\mathrm{em}, de forma que

\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2+\mathbf{p}_\mathrm{em}=\mathrm{cte.}

De esta forma, el campo se lleva toda la cantidad de movimiento que pierde el sistema mecánico (o aporta la que gana).

Esto implica que el campo electromagnético, además de almacenar una energía, almacena una cantidad de movimiento (y un momento angular, ya puestos), que son propiedades usualmente asignadas a las partículas. Por ello, en una descripción completa, el campo electromagnético tiene tanta realidad como las propias partículas. En mecánica cuántica, estas propiedades se le asignan a una partícula que representa al campo electromagnético: el fotón.

En el caso de que se trate del campo magnético de corrientes estacionarias sí se cumple la 3ª ley de Newton, sin necesidad de términos adicionales

2.3 Fuerza entre dos cargas en movimiento paralelo

Artículo completo: Fuerza entre dos cargas en movimiento
Supongamos dos cargas q1 y q2 que se mueven paralelamente con la misma velocidad \mathbf{v} = v\mathbf{u}_z sobre rectas separadas una distancia d\mathbf{u}_x. El campo de la 1ª en la posición de la 2ª es
\mathbf{B}_1\left(\mathbf{r}_2\right) = \frac{\mu _0q_1v_1}{4\pi d^2}\mathbf{u}_y

La fuerza magnética sobre q2 es

\mathbf{F}_{\mathrm{m}21} = q_2\mathbf{v}_2 \times \mathbf{B}_1\left(\mathbf{r}_2\right) =  - \frac{\mu _0q_1q_2v^2}{4\pi d^2}\mathbf{u}_x

La fuerza magnética es atractiva si las cargas son del mismo signo.

Podemos comparar la magnitud de esta fuerza con la fuerza eléctrica entre ambas cargas. Si la velocidad de las cargas es pequeña, podemos aproximar la fuerza mediante la ley de Coulomb:

\mathbf{F}_{\mathrm{e}21} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0d^2}\mathbf{u}_x

La proporción entre ambas fuerzas es

\frac{F_\mathrm{m}}{F_\mathrm{e}}=\mu_0\varepsilon_0 v^2=\frac{v^2}{c^2}

donde c = 3\times 10^{8}\mathrm{m}/\mathrm{s} es la velocidad de la luz. Por ello, normalmente

F_\mathrm{m}\ll F_\mathrm{e}

Las fuerzas magnéticas sólo son apreciables porque la materia es neutra. En la interacción entre dos hilos conductores de corriente, las fuerzas eléctricas entre iones y electrones se cancelan (y F_\mathrm{e}\simeq 0). Para la fuerza magnética sólo cuentan los electrones móviles, y F_\mathrm{m}\neq 0.

Una observación más sobre esta fuerza magnética y su relación con la eléctrica. Al hablar del campo magnético producido por una carga puntual se introduce su velocidad, y en la fuerza de Lorentz aparece otra velocidad. la pregunta inmediata es ¿velocidad respecto a qué? No es la velocidad relativa de una carga respecto a la otra (ya que en este ejemplo, las dos cargas se mueven del mismo modo), sino la velocidad respecto a un sistema de referencia fijo. Ahora bien, una de las enseñanzas de la teoría de la relatividad es que no existen los sistemas de referencia absolutos. Si cambiamos de sistema de referencia absoluto resulta que la fuerza magnética valdrá más o menos o incluso anularse. Este comportamiento claramente no relativista de la fuerza magnética no puede ser correcto.

La expresión correcta de la fuerza electromagnética requiere meterse en las honduras de la relatividad especial, por lo que sólo indicaremos dos detalles:

  • Lo que tiene significado es la fuerza total, suma de la fuerza magnética y de la eléctrica
\mathbf{F}_{21}=\mathbf{F}_{\mathrm{e}21}+\mathbf{F}_{\mathrm{m}21}
  • La fuerza eléctrica también depende de la velocidad de las cargas (la ley de Coulomb es solo una aproximación), de forma que al cambiar de sistema de referencia no solo cambia la fuerza magnética, sino también la eléctrica (en una cantidad similar), de manera que la resultante sí se transforma como debe hacerlo una fuerza relativista.

3 Campo creado por una distribución de corriente

3.1 Ley de Biot y Savart

Sumando las contribuciones de los campos creados por cada una de las cargas individuales, resulta la expresión para el campo creado por una distribución de cargas puntuales

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\sum_i \frac{q_i\mathbf{v}_i \times \left(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i\right)}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i\right|^3}

A partir de aquí se obtiene el campo debido a una corriente de volumen

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\mathrm{d}\tau'

Análogamente para el caso de una distribución de corriente superficial

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \mathbf{K}(\mathbf{r}')\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\mathrm{d}S'

y para una corriente lineal

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int\mathrm{d}\mathbf{r}'\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}

o para una superposición de ellas

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\left(\int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\mathrm{d}\tau'+\int \mathbf{K}(\mathbf{r}')\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\mathrm{d}S'+I\int\mathrm{d}\mathbf{r}'\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\right)

Todas estas expresiones se denominan indistintamente Ley de Biot y Savart

La ley de Biot y Savart para una distribución volumétrica se deduce de la de un conjunto de cargas puntaules del mismo modo que la ley de Lorentz para una corriente de volumen se obtiene de la de una carga. La ley de Biot y Savart para una corriente lineal se deduce de la de una corriente de volumen de la misma forma que la ley de Lorentz para una corriente lineal se deduce de la de una de volumen.

3.2 Fuerza entre corrientes

Dadas dos distribuciones lineales, la fuerza entre ellas será:

\mathbf{F}_{I'\to I}=\frac{\mu_0II'}{4\pi}\int_{\Gamma}\int_{\Gamma'}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}\times(\mathrm{d}\mathbf{r}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}

Esta fórmula también se conoce como Ley de Biot y Savart. Predice que corrientes paralelas (↑↑) se atraen, mientras que las antiparalelas (↑↓) se repelen.

4 Campos de corrientes lineales

4.1 Campo de una espira circular

Artículo completo: Campo magnético de una espira circular

Supongamos una espira circular por la cual circula una corriente I. Se trata de hallar el campo magnético en los puntos del eje de la espira (para el resto del espacio no existe expresión analítica sencilla)

Aplicando la ley de Biot y Savart

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int\mathrm{d}\mathbf{r}'\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}

Tomamos como eje z el de la espira, las integrales para Bx y By se anulan, lo que se puede explicar como que el campo horizontal de un segmento de espira se anula con el del diametralmente opuesto.

Imagen:integralBespira.png    Imagen:grafBespira.png

Integrando la componente z queda el campo

\mathbf{B}_z=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z

Este campo va en la dirección del eje y su gráfica es una campana con un máximo en el centro.

El valor máximo del campo es Bmax = μ0I / 2R, que para una espira de 10 cm por la cual circule una corriente de 1 A da un campo B_max \simeq 1.26\mu\,\mathrm{T}.

En el resto del espacio el campo se puede calcular de forma numérica, resultando líneas cerradas alrededor de la espira. Las líneas están en planos \varphi=\mathrm{cte.}. La distribución de líneas posee simetría acimutal.

Las líneas de campo salen por la cara superior (definida según la regla de la mano derecha) y entran por la cara inferior.

Imagen:lineasBespira.png    

4.2 Campo de una corriente rectilínea

4.2.1 Caso de un segmento

Artículo completo: Campo magnético de una corriente rectilínea

Consideremos un segmento de longitud L, por el cual circula una corriente continua I. Esta no es una corriente estacionaria, a menos que el segmento forme parte de un sistema más grande (como una espira poligonal). Si tomamos como eje Z el del segmento y el origen en su punto medio resulta la integral

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I(-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y)}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}z'}{(x^2+y^2+(z-z')^2)^{3/2}}
Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable
z'-z = \mathrm{tg}\,\alpha

α es el ángulo con el que se ve un punto cualquiera del segmento desde el punto donde queremos hallar el campo. Sean α1 y α2 los ángulos con que se ven los extremos del segmento.

La solución es

\mathbf{B} = \frac{\mu _0I\left(-y\mathbf{u}_x + x\mathbf{u}_y\right)}{4\pi \left(x^2 + y^2\right)}\left(\mathrm{sen}\,{\alpha _2} - \,\mathrm{sen}{\alpha _1}\right) = \frac{\mu _0I\mathbf{u}_\varphi)}{4\pi \rho}\left(\mathrm{sen}\,{\alpha _2} - \,\mathrm{sen}{\alpha _1}\right)

De la expresión en cilíndricas se ve que las líneas de campo magnético dan vueltas en torno al eje del segmento, según la regla de la mano derecha.

4.2.2 Caso de un hilo infinito

De la expresión para un segmento se deduce el campo para un hilo infinitamente largo. Si L\to\infty, los ángulos extremos tienen los límites \alpha_1\to-\pi/2, \alpha_2\to+\pi/2 y el campo

\mathbf{B} \to \frac{\mu _0I\left(-y\mathbf{u}_x + x\mathbf{u}_y\right)}{2\pi \left(x^2 + y^2\right)} = \frac{\mu _0I\mathbf{u}_\varphi)}{2\pi \rho}

Este campo decae con la distancia al hilo como 1 / ρ (a doble distancia mitad de campo).

Si tenemos dos o más hilos paralelos se suman sus expresiones en cartesianas (no en cilíndricas)

\mathbf{B} =\sum_i \frac{\mu _0I_i\left(-(y-y_i)\mathbf{u}_x + (x-x_i)\mathbf{u}_y\right)}{2\pi \left((x-x_i)^2 + (y-y_i)^2\right)}

con xi,yi, las posiciones de cada hilo en el plano XY.

4.2.3 Fuerza entre dos hilos. El Amperio

Supongamos dos hilos paralelos separados una distancia d, por los cuales circulan corrientes I1 e I2. La fuerza que el hilo 1 ejerce sobre el 2 es

\mathbf{F}_{21} = I_2\int_{\Gamma _2} \mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times \mathbf{B}_1\left(\mathbf{r}_2\right)

\mathbf{B}_1(\mathbf{r}_2) vale, en todos los puntos de Γ2

\mathbf{B}_1\left(\mathbf{r}_2\right) = \frac{\mu_0I_1}{2\pi d}\mathbf{u}_y

La fuerza sobre un tramo de longitud L es

\mathbf{F}_{12}= -\frac{\mu_0I_1I_2L}{2\pi d}\mathbf{u}_x

Este resultado se emplea para definir el amperio:

Es la corriente que al circular por dos hilos rectilíneos paralelos, de longitud infinita y sección circular despreciable separados 1 m en el vacío, produce una fuerza por unidad de longitud igual a 2×10-7N/m

4.3 La doble regla de la mano derecha

De los ejemplos anteriores y del campo de una carga puntual puede verse que el campo magnético creado por una corriente lineal cumple la regla de la mano derecha por partida doble:

  • El campo respecto a la corriente
  • La corriente respecto al campo
Imagen:manoderecha1.png        Imagen:manoderecha1.gif        Imagen:manoderecha2.png

5 Campos de corrientes superficiales

5.1 Campo de un solenoide finito

Artículo completo: Campo de un solenoide cilíndrico
Un solenoide, o bobina, consiste en un hilo arrollado de forma helicoidal sobre un cilindro de radio a y longitud h. Si las vueltas están muy próximas puede aproximarse por una densidad de corriente superficial \mathbf{K} = K\mathbf{u}_\varphi.

El valor de K puede calcularse imponiendo que la corriente total que recorre horizontalmente el solenoide sea NI, con N el número de espiras.

I_\mathrm{Total} = NI = \int_0^h \mathbf{K}\cdot\mathbf{n}_1\,\mathrm{d}l  = Kh   \Rightarrow   K = \frac{N}{h}I = nI

con n = N / h la densidad de espiras por unidad de longitud. la integral que nos da el campo es

Igual que para una espira, solo hay componente z del campo, lo que nos reduce el problema a hallar la integral

\mathbf{B}=\frac{\mu_0nIa^2\mathbf{u}_z}{2}\int_0^h\frac{\mathrm{d}z}{(a^2+(z-z')^2)^{3/2}}

que se puede leer como que el campo en el eje del solenoide es la suma de los campos producidos por cada una de las espiras que lo componen.

Haciendo de nuevo el cambio de variable z'-z = a\,\mathrm{tg}\alpha queda el campo
\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0nI\mathbf{u}_z}{2}\left(\mathrm{sen}\,(\alpha_2)-\mathrm{sen}\,(\alpha_1)\right)
Este campo, como función de z posee forma de campana, cada vez más plana a medida que aumenta la longitud del cilindro.

En el límite h\to\infty resulta un campo constante:

h\to\infty\,   \Rightarrow   \alpha_1\to-\frac{\pi}{2} \alpha_2\to+\frac{\pi}{2}   \Rightarrow    \mathbf{B}\to\mu_0nI\mathbf{u}_z

Este campo posee la propiedad de que no depende del radio de la bobina, con tal que a\ll h. Puede demostrarse asimismo que, para bobinas infinitamente largas, este campo tiene el mismo valor en todos los puntos del interior, no solo los del eje.

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