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Campo magnético debido a un segmento

De Laplace

1 Enunciado

Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente I0, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en \overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath} y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde \overrightarrow{OA}=z_1 \vec{k} a \overrightarrow{OB}=z_2 \vec{k} (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

2 Solución

El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es

\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}

donde:

  • \vec{r} es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso
\vec{r}=x\vec{\imath}
  • \vec{r}^{\,\prime} es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso
\vec{r}^{\,\prime}=z'\vec{k}\qquad\qquad z'\in(z_1,z_2)
  • \mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime} es un diferencial de camino a lo largo de la corriente
\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=\mathrm{d}z'\vec{k}
  • \vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación
\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=x\vec{\imath}-z'\vec{k}
  • |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación
|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{x^2+z'^2}

Por tanto, tenemos

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(\mathrm{d}z'\vec{k})\times\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(x\,\mathrm{d}z'\vec{\jmath})}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}

Para hacer esta integral hacemos, como en otras ocasiones, el cambio de variable

z'=x\,\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}z'=\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \sqrt{x^2+z'^2}=\frac{x}{\cos(\alpha)}

que convierte la integral en una inmediata

\vec{B}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I\vec{\jmath}}{4\pi x}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha = \frac{\mu_0I}{4\pi x}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{\jmath}

α1 y α2 son los ángulos con los que se ven, desde el punto de observación, el extremo inicial del segmento (por donde entra la corriente) y el final (por donde sale). Estos senos son iguales a

\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{z_2}{\sqrt{x^2+z_2^2}}\qquad\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{z_1}{\sqrt{x^2+z_1^2}}

3 Generalización del resultado

El cálculo anterior está hecho suponiendo el punto de observación en el eje OX. Este resultado puede generalizarse a cualquier punto del espacio, de la siguiente manera:

  • La coordenada x no es más que la distancia del punto P a la recta donde se encuentra el segmento. Empleando coordenadas cilíndricas, si el segmento está en el eje OZ, esta distancia es la coordenada ρ.
  • El vector \vec{\jmath} es el perpendicular al eje de la varilla y al vector de posición, cumpliéndose la regla de la mano derecha respecto al sentido de la corriente. En general, este vector es \vec{u}_\theta
  • Si el punto de observación no está en z = 0 sino en un valor arbitrario de z, hay que sustituir en el resultado z1 por (z1z) y z2 `por (z2z).

La expres en cilíndricas del campo magnético creado por un segmento rectilíneo situado en el eje OZ es entonces

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi \rho}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{u}_\theta

con

\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{z_2-z}{\sqrt{\rho^2+(z_2-z)^2}}\qquad\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{z_1-z}{\sqrt{\rho^2+(z_1-z)^2}}

Las líneas de campo de este campo magnético describen circunferencias en torno al eje OZ, orientadas según la regla de la mano derecha.

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