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Campo magnético debido a un hilo infinito

De Laplace

1 Enunciado

A partir del resultado del problema “Campo magnético debido a un segmento” calcule, para todos los puntos del espacio, el campo magnético creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo situado sobre el eje OZ y por el cual circula una corriente I0 en el sentido del eje OZ positivo.

2 Solución

El campo creado por un segmento rectilíneo tiene la expresión

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho}\left(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1)\right)\vec{u}_\theta

Cuando consideremos un hilo de longitud infinita, los ángulos con los que se ven los extremos tienden a +π/2 y −π/2, respectivamente

\alpha_2\to\frac{\pi}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\alpha_2)\to +1

 

\alpha_2\to-\frac{\pi}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)\to -1

lo que da el campo

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho}\left(1-(-1)\right)\vec{u}_\theta=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\vec{u}_\theta

Esta es la expresión del campo magnético debido a un hilo rectilíneo infinito. Va en la dirección acimutal (es decir, sus líneas de campo son circunferencias en torno al hilo) y decae como la distancia al hilo; doble de distancia, mitad de campo.

Esta expresión se puede generalizar a cualquier orientación del eje sin necesidad de que esté en OZ. Simplemente hay que considerar ρ como la distancia desde el punto de observación, P, a la recta por la que circula la corriente y \vec{u}_\theta es el vector perpendicular al plano definido por el hilo y el punto P, orientado según la regla de la mano derecha respecto a la corriente.

Si queremos expresarlo en cartesianas observamos que

\rho=\sqrt{x^2 + y^2}

y que

\vec{u}_\theta=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}=-\frac{y}{\rho}\vec{\imath}+\frac{x}{\rho}\vec{\jmath}

Por tanto,

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y\vec{\imath}+x\vec{\jmath}}{x^2+y^2}\right)

Si el hilo no está sobre el eje OZ, sino sobre una línea paralela a él que pasa por x = x0 e y = y0 hay que hacer una traslación del origen. En ese caso, la expresión del campo es

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-(y-y_0)\vec{\imath}+(x-x_0)\vec{\jmath}}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right)

Por otro lado, si el hilo no está sobre el eje OZ, sino sobre el eje OX, hay que hacer una rotación de ejes, z pasa a ser x, x pasa a ser y e y pasa a ser z. Esto da

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-z\vec{\jmath}+y\vec{k}}{y^2+z^2}\right)

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