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Campo magnético de una espira rectangular

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Suponga una espira rectangular de lados a y b, por la cual circula una corriente continua I.

  1. Halle el campo magnético en el centro de la espira. ¿A qué se reduce el resultado si a = b? ¿Y si a\gg b?

Para el caso de una espira de lados a=3\,\mathrm{cm}, b=4\,\mathrm{cm} por la que circula una corriente I_0=100\,\mathrm{mA}

  1. Halle el campo exacto en el centro de la espira.
  2. Empleando la aproximación dipolar, calcule el campo a una distancia de 40\,\mathrm{cm} del centro, en el eje de la espira.
  3. A una distancia de 40\,\mathrm{cm} del centro, a lo largo de una diagonal de la espira.

2 Campo en el centro

El campo debido a un segmento rectilíneo puede escribirse en la forma

\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}

siendo α1 y α2 los ángulos con los que se ven los extremos del segmento desde el punto donde queremos hallar el campo, y \mathbf{n} es la normal al plano definido por el segmento y el punto de observación, con el sentido dado por la regla de la mano derecha.

En el caso de una espira rectangular, el campo en el centro irá en la dirección normal al plano de la espira, con el sentido dado por la regla de la mano derecha. La contribución de los cuatro lados va en el mismo sentido. Las contribuciones de lados opuestos se sumarán , dando el doble de cada una de ellas. Por tanto, sólo necesitamos calcular la contribución de un lado mayor (de longitud b) y de uno menor (de longitud a).

Para un lado de longitud b, la distancia del centro a dicho lado es a / 2, y los senos de los ángulos valen

\mathrm{sen}\,\alpha_2 = \frac{b/2}{\sqrt{(b/2)^2+(a/2)^2}}        \mathrm{sen}\,\alpha_1=-\,\mathrm{sen}\,\alpha_2

de forma que la contribución de este lado es

\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I}{\pi a}\,\frac{b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}

La contribución del lado corto será la correspondiente a intercambiar a por b

\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0I}{\pi b}\,\frac{a}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}

Y el campo total en el centro de la espira

\mathbf{B}=2\mathbf{B}_1+2\mathbf{B}_2=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{b/a+a/b}{\sqrt{b^2+a^2}}\mathbf{n}=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}\mathbf{n}

En el caso de una espira cuadrada, a = b este resultado se reduce a

\mathbf{B}=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}

que corresponde a que los cuatro lados contribuyan por igual, siendo todos los senos iguales a \pm\sqrt{2}/2.

Si b\gg a

\mathbf{B}\simeq \frac{2\mu_0I}{\pi a}\,\mathbf{n}

esto es, los lados pequeños y muy alejados tienen una contribución despreciable, mientras que los largos y próximos producen un campo equivalente al de dos hilos infinitamente largos.

3 Valor numérico en el centro

Sustituyendo los datos

a = 0.03\,\mathrm{m}        b = 0.04\,\mathrm{m}        I_0=0.1\,\mathrm{A}        \mu_0=4\pi\times 10^{7}\,\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}

en la expresión anterior

|\mathbf{B}|=\frac{2\mu_0I}{\pi}\,\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab} = \frac{10^{-5}}{3}\,\mathrm{T}=3.33\,\mu\mathrm{T}

siendo la dirección y sentido del campo la normal al plano de la espira según la regla de la mano derecha.

4 Valor numérico en el eje

Para otros puntos del espacio, podemos hallar la expresión exacta, ya que el campo de un polígono puede hallarse en cualquier punto. Sin embargo, si los puntos están alejados (esto es, la distancia al centro de la espira es mucho mayor que las dimensiones de ésta), podemos emplear la aproximación dipolar

\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}

siendo \mathbf{m} el momento magnético de la espira que, por ser ésta plana, es

\mathbf{m}=IS\mathbf{n}=I_0ab\mathbf{n}=1.2\times 10^{-4}\,\mathbf{n}\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2

En el caso de un punto situado a una cierta altura sobre el eje tenemos que

\mathbf{m}=m\mathbf{n}\,        \mathbf{r}=h\mathbf{n}\,   \Rightarrow   \mathbf{B}=\frac{\mu_0m}{2\pi r^3}\mathbf{n}

Sustituyendo los valores numéricos (r=0.4\,\mathrm{m}) queda

|\mathbf{B}| = 375\,\mathrm{pT}

5 Valor numérico en la diagonal

Para un punto en el plano de la espira, pero alejado de ella, empleamos de nuevo la aproximación dipolar

\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0I}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}

donde ahora la única diferencia es que ahora el vector de posición es perpendicular al momento magnético

\mathbf{r}=r\mathbf{u}\,        \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=0

y por tanto el campo vale

\mathbf{B}=-\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}\mathbf{n}

Para una distancia igual que la anterior, simplemente resulta, en módulo, la mitad del campo que antes

|\mathbf{B}| = 188\,\mathrm{pT}

siendo ahora la dirección la de la normal, pero su sentido el opuesto.

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