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Campo magnético de una espira circular

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Supongamos una espira circular por la cual circula una corriente I. Se trata de hallar el campo magnético en los puntos del eje de la espira (para el resto del espacio no existe expresión analítica sencilla)

2 Integración

Aplicamos la ley de Biot y Savart

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int\mathrm{d}\mathbf{r}'\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}

Tomamos como eje z el de la espira, de forma que

\mathbf{r} = z\mathbf{u}_z\,        \mathbf{r}' = R\left(\cos\varphi'\,\mathbf{u}_x + \,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathbf{u}_y\right)        \mathrm{d}\mathbf{r}' = R\left(-\,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathbf{u}_x + \cos\varphi'\,\mathbf{u}_y \right)\mathrm{d}\varphi '

\mathbf{r} - \mathbf{r}' =  - R\cos\varphi'\,\mathbf{u}_x - R\,\mathrm{sen},\varphi'\,\mathbf{u}_y + z\mathbf{u}_z        \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right| = \sqrt{R^2 + z^2}

Hallando el producto vectorial y extrayendo los factores constantes:


\mathbf{B}(z) = \frac{\mu _0IR}{4\pi\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}\left(\mathbf{u}_xz\int_0^{2\pi}\!\!\!\! \cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'  + \mathbf{u}_yz\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{sen}\,\varphi'\mathrm{d}\varphi'  + \mathbf{u}_zR\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{d}\varphi'\right)

Las integrales para Bx y By se anulan, lo que se puede explicar como que el campo horizontal de un segmento de espira se anula con el del diametralmente opuesto.

Imagen:integralBespira.png    Imagen:grafBespira.png

Integrando la componente z queda el campo

\mathbf{B}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z

Este campo va en la dirección del eje y su gráfica es una campana con un máximo en el centro.

El valor máximo del campo es B_\mathrm{max}=\mu_0I/2R\,, que para una espira de 10 cm por la cual circule una corriente de 1 A da un campo B_\mathrm{max} \simeq 1.26\mu\,\mathrm{T}.

3 Enlaces

4 Campo en todo el espacio

En el resto del espacio el campo se puede calcular de forma numérica o de forma analítica, resultando líneas cerradas alrededor de la espira. Las líneas están en planos \varphi=\mathrm{cte.}. La distribución de líneas posee simetría acimutal.

Las líneas de campo salen por la cara superior (definida según la regla de la mano derecha) y entran por la cara inferior.

Imagen:lineasBespira.png    Imagen:lineasBespira3D.gif

La expresión analítica del campo en todo el espacio puede calcularse a partir del potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}

a partir del cual el campo magnético se calcula como

\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}

En este caso en que tenemos una corriente puramente acimutal, el potencial vector posee la misma simetría

\mathbf{A}=A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi

El campo magnético resultante se encuentra contenido en planos \varphi=\mathrm{cte.}. Hallando el rotacional en coordenadas cilíndricas,

\mathbf{B}= -\frac{\partial A}{\partial z}\mathbf{u}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho A)}{\partial\rho}\mathbf{u}_z = B_\rho(\rho,z)\mathbf{u}_\rho+B_z(\rho,z)\mathbf{u}_z

Una vez calculado el potencial vector, puede obtenerse la ecuación de las líneas de campo, que son solución de la ecuación diferencial

\frac{\mathrm{d}\rho}{B_\rho}=\frac{\mathrm{d}z}{B_z}   \Rightarrow    0=B_z\,\mathrm{d}\rho-B_\rho\mathrm{d}z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho A)}{\partial \rho}\mathrm{d}\rho+\frac{\partial(\rho A)}{\partial z}\mathrm{d}z\right)

La última expresión es una diferencial exacta. Por ello, las líneas de campo magnético vienen dadas por la ecuación

\rho\,A(\rho,z)=\mathrm{cte.}

Calculando la integral resulta, para el potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\left(\frac{r^2+R^2+z^2}{\sqrt{(r+R)^2+z^2}}\mathrm{K}\left(\frac{4 rR}{(r+R)^2+z^2}\right)-\sqrt{(r+R)^2+z^2}\,\mathrm{E}\left(\frac{4Rr}{(r+R)^2+z^2}\right)\right)\mathbf{u}_\varphi

siendo E(m) y K(m) las integrales elípticas completas de primera y segunda especie:

\mathrm{E}(m)=\int_0^{\pi/2}\!\!\sqrt{1-m\,\mathrm{sen}^2(t)}\,\mathrm{d}t        \mathrm{K}(m)=\int_0^{\pi/2}\!\!\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-m\,\mathrm{sen}^2(t)}}

5 El límite dipolar

Un límite destacado es aquél en que medimos el campo en puntos muy alejados de la espira.

|\mathbf{r}| \gg R

En este caso la espira se comporta como un dipolo magnético de momento dipolar magnético

\mathbf{m}=I S\mathbf{n}= I \pi R^2 \mathbf{u}_z

En la aproximación de dipolo magnético el potencial vector se reduce a (en esféricas)

\mathbf{A}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}=\frac{\mu_0IR^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\varphi}{4r^2}

y el campo magnético a

\mathbf{B}\simeq \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}=\frac{\mu_0IR^2}{4 r^3}(2\cos\theta\,\mathbf{u}_r+\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\theta)

6 Enlaces

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