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Campo magnético de una corriente filiforme rectilínea (F2GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Obténgase el campo magnético creado por una corriente estacionaria de intensidad I1 que recorre una conductor rectilíneo de sección despreciable (filiforme) y de longitud indefinida.

2 Solución

Consideremos una corriente eléctrica estacionaria de intensidad I1, que recorre un hilo conductor rectilíneo, Δ, de longitud indefinidad, cuya sección puede considerarse despreciable; es decir, se trata de un conductor filiforme. Para describir analíticamente el espacio y las magnitudes físicas vectoriales, adotparemos un sistema de referencia cuyo eje OZ coindice con el hilo de corriente. Obsérvese que al tener éste longitud indefinida, cualquiera de sus puntos puede ser considerado origen O del sistema de referencia.

Una vez hecha la elección, un elemento de corriente I_1\mathrm{d}\mathbf{r'} y su posición en un punto arbitrario del hilo, P', estarán descritos por los vectores:

\overrightarrow{OP'}=\mathbf{r'}=z'\!\ \mathbf{k}\,\mathrm{;}\qquad\,I_1\mathrm{d}\mathbf{r'}=I_1\mathrm{d}z'\!\ \mathbf{k}

2.1 Campo magnético de la corriente filiforme rectilínea

Para determinar el campo magnético creado por dicha corriente aplicaremos la ley de Biot y Savart. Sea un punto cualquiera del espacio, de coordenadas cartesianas P(x,y,z), cuya posición respecto del punto O y respecto de la posición arbitraria de un elemento de corriente, viene dada por sendos vectores:

\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=x\!\ \mathbf{i}+y\!\ \mathbf{j}+z'\!\ \mathbf{k}\,\mathrm{;}\qquad\,\overrightarrow{P'P}=\mathbf{r}-\mathbf{r'}=x\!\ \mathbf{i}+y\!\ \mathbf{j}+(z-z')\!\ \mathbf{k}

El elemento de corriente I_1\mathrm{d}\mathbf{r'} produce una contribución infinitesimal al campo magnético en el punto P:

\mathrm{d}\mathbf{B}\big\rfloor_P=\frac{\mu_0}{4\pi}\ \frac{I_1\mathrm{d}\mathbf{r'}\times (\mathbf{r}-\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3}=\frac{\mu_0 \!\ I_1}{4\pi}\ \frac{(-y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j})\!\ \mathrm{d}z'}{\left[x^2+y^2+(z-z')^2\right]^{3/2}}

En virtud del principio de superposición, el campo magnético total en el punto P será igual a la suma de las contribuciones de todos los elementos de corriente en el hilo Δ, desde z'\rightarrow -\infty hasta z'\rightarrow +\infty:

\mathbf{B}(P)=\int_\Delta\!\mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{\mu_0 \!\ I_1\big(-y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j}\big)}{4\pi}\ \int_{-\infty}^\infty\!\frac{\!\ \mathrm{d}z'}{\left[x^2+y^2+(z-z')^2\right]^{3/2}}

Las coordenadas x e y del punto P donde se evalúa el campo son independientes de la variable de integración z', y que los unitarios \mathbf{i} y \mathbf{j} de las coordenadas cartesianas son vectores constantes en todo el espacio. Por tanto, el vector \big(-y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j}\big) puede salir de la integral, indicando la dirección del campo magnético en dicho punto. Obsérvese que este vector es tangente en P a una circunferencia centrada en el eje OZ y contenida en el plano perpendicular a dicho eje. El radio de esta circunferencia es la distancia ρ que hay entre el conductor rectilíneo y el punto P; y si denominamos \varphi al ángulo que forma el plano OXZ con el “vertical” que contiene al punto P, se tendrán las siguientes relaciones entre las coordenadas y estas variables geométricas:

\left.\begin{array}{l}x=\rho\cos\varphi\\ \\ y=\rho\,\mathrm{sen}\,\varphi\end{array}\right\}\;\,\Longrightarrow\;\,\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2}=\rho\\ \\ \displaystyle -y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j}=\rho\left(-\mathrm{sen}\,\varphi\!\ \mathbf{i}+\cos\varphi\!\ \mathbf{j}\right)=\rho\!\ \mathbf{u}_\varphi(P)\end{array}\right.

Por otra parte, para calcular la anterior integral resulta muy conveniente realizar un cambio de variable en términos del ángulo α que se indica en la figura:

\,\mathrm{tan}\,\alpha=\frac{(z'-z)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{z'-z}{\rho}\quad\longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\mathrm{d}z'}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\mathrm{d}z'}{\rho}

Teniendo en cuenta que los límites de integración para esta variable son \pm\pi/2, se obtiene el valor del campo magnético en el punto P. Y como éste es un punto arbitrario del espacio, obtenemos la expresión del campo magnético creado por el hilo rectilíneo y de longitud indefinida, tanto en coordenadas cartesianas como en términos de las variables ρ y \varphi (coordenadas polares en cada plano con valor de z constante):

\mathbf{B}(P)=\frac{\mu_0 \!\ I_1\big(-y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j}\big)}{4\pi\left(x^2+y^2\right)}\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\cos\alpha\ \mathrm{d}\alpha\quad\;\longrightarrow\quad\;\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 \!\ I_1}{2\pi}\ \frac{\big(-y\!\ \mathbf{i}+x\!\ \mathbf{j}\big)}{x^2+y^2}=\frac{\mu_0 \!\ I_1}{2\pi\!\ \rho}\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)

Como puede comprobarse, la magnitud del campo magnético en un punto es inversalmente proporcional a la distancia que lo separa del hilo rectilíneo de corriente, y en cada punto del espacio tiene la dirección tangente a la circunferencia centrada en el hilo y contenida en el plano perpendicular a éste. El conjunto de estas circunferencias concéntricas en distintos planos “horizontales”, constituyen las líneas del campo magnético creado por dicha corriente.

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