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Campo magnético de un cable cilíndrico

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule el campo magnético producido en todo el espacio por un cable cilíndrico de radio a y longitud infinita, por el cual circula una densidad de corriente uniforme \mathbf{J}_0 =J_0\mathbf{u}_z en la dirección de su eje.

2 Introducción

Para este sistema, las leyes de la magnetostática nos dicen

\nabla\cdot\mathbf{B}=0        \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}=\begin{cases}\mu_0J_0\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

A la hora de hallar el campo, podemos emplear un razonamiento casi idéntico al que se usa en el caso de un hilo infinito. Al igual que en ese sistema puede demostrarse que

Por todo ello \mathbf{B} se reduce a

\mathbf{B}=B(\rho)\mathbf{u}_\varphi

La diferencia aparece al aplicar la ley de Ampère. Si consideramos una circunferencia Γ de radio ρ centrada en el cable y la cantidad de corriente I que atraviesa una superficie apoyada en ella, tenemos dos casos:

3 Puntos exteriores al cable

Si ρ > a, la corriente I es la total del cable:
\oint_\Gamma  {{\mathbf{B}}{{\cdot}}{\mathbf{r}}}  = 2\pi \rho {B_\varphi } = {\mu _0}I_T = {\mu _0}{J_0}\pi {a^2}

y de aquí

\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi=\frac{\mu_0J_0a^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi

esto es, el campo que produce el cable en su exterior es igual que el produciría un hilo infinitamente delgado situado en el centro del cable.

4 Puntos interiores al cable

Si ρ < a, la corriente I(ρ) es solamente la abarcada por un círculo que tiene a Γ por borde
\oint_\Gamma  {{\mathbf{B}}{{\cdot}}{\mathbf{r}}}  = 2\pi \rho {B_\varphi } = {\mu _0}I(\rho) = {\mu _0}{J_0}\pi {\rho^2}

y de aquí

\mathbf{B}=\frac{\mu_0J_0\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi

En el interior el campo crece linealmente con ρ, la distancia al eje. El campo máximo se alcanza justo en la superficie del hilo y vale μ0I / 2πa. Para I = 1\,\mathrm{A} y a = 1\,\mathrm{mm} vale 0.2 mT

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