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Campo magnético de tres hilos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una línea de alta tensión trifásica está formada por tres hilos paralelos coplanarios, separados una distancia a, por los cuales circulan las corrientes

I_1= \frac{I_0}{2}\left(-\cos(\omega t) - \sqrt{3}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)    I_2 = I_0\cos(\omega t)\,     I_3= \frac{I_0}{2}\left(-\cos(\omega t) + \sqrt{3}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)

siendo ω la frecuencia de oscilación, que se considera muy baja.

  1. Calcule la circulación, como función del tiempo, del campo magnético \mathbf{B} a lo largo de un contorno rectangular de base 3a y altura a perpendicular al plano de los hilos y que rodea a los tres.
  2. Calcule el valor del campo magnético en el plano de los hilos.
  3. Halle la fuerza sobre un segmento de longitud h del hilo central, como función del tiempo. ¿Cuánto vale la fuerza máxima? Calcule su valor numérico para el caso a = 1 m, h = 1 m, \omega = 100\pi\,\mathrm{s}^{-1}, I0 = 2 kA.

2 Solución

2.1 Circulación del campo magnético

La circulación de un campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado es

\oint_{\Gamma} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

Si se trata del campo magnético, la ley de Ampère nos dice que la circulación del campo magnético a lo largo de un contorno cerrado es

\oint_{\Gamma} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \mu_0 I_T

siendo IT la corriente que atraviesa una superficie apoyada en el contorno Γ. Esta ley es válida para campos estáticos. Si hay dependencia del tiempo habría que añadir la corriente de desplazamiento. Pero el enunciado nos dice que la frecuencia es muy baja, es decir, que podemos despreciar la corriente de desplazamiento y utilizar la ley de Ampère estática.

Observamos en el dibujo que los tres hilos atraviesan el contorno. Entonces la circulación vale

\oint_{\Gamma} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \mu_0 I_T = \mu_0(I_1 + I_2 + I_3)=0

La suma de las tres corrientes vale 0 para todo instante.

2.2 Campo en el plano de los hilos

Para este apartado suponemos que los hilos son infinitos. Necesitamos la expresión del campo magnético generado por un hilo infinito. Lo mas sencillo es obtenerlo de nuevo de la ley de Ampère.

El campo magnético producido por un hilo infinito es

\mathbf{B}_\mathrm{hilo} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \rho}\mathbf{u}_{\varphi}

En esta expresión, ρ es la distancia al hilo y \mathbf{u}_{\varphi} es el vector acimutal con respecto al hilo.

En el problema tenemos tres hilos paralelos infinitos con corrientes I1, I2, I3. El campo en un punto del espacio es la suma del campo producido por cada uno de ellos

\mathbf{B} = \mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3

Pero hay que tener cuidado, por que las distancias a cada hilo y los vectores azimutales no se pueden sumar directamente.

En nuestro caso se pide el campo en el plano de los hilos. En la figura se indica el sistema de ejes que escogemos para resolver el problema y la contribución del campo de cada hilo en cada región. Con el sistema de ejes elegido el plano de los hilos viene determinado por y = 0.

El hilo 2 coincide con el eje Z. Para este hilo el campo es

\mathbf{B}_2(y=0) = \left.\frac{\mu_0 I_2}{2\pi \rho}\mathbf{u}_{\varphi}\right| _{y=0} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi x}\mathbf{u}_{y}

Obsérvese que en el plano y = 0 el vector \mathbf{u}_{\varphi} es \pm\mathbf{u}_{y}.

Esta expresión además da el signo correcto de \mathbf{u}_{y} teniendo en cuenta el signo de x. Cuando x es positiva estamos a la derecha del hilo 2, y el campo apunta hacia arriba en la figura. Si x es negativo estamos a la izquierda y el campo apunta hacia abajo.

Para los otros dos hilos basta con desplazar el origen de la coordenada X. EL hilo 1 está en x1 = − a y el 3 está en x = + a. Por tanto
\mathbf{B}_1(y=0) = \displaystyle\frac{\mu_0 I_1}{2\pi (x+a)}\mathbf{u}_{y}    \mathbf{B}_3(y=0) = \displaystyle\frac{\mu_0 I_3}{2\pi (x-a)}\mathbf{u}_{y}

Entonces el campo en cualquier punto del plano de los hilos es la suma de los tres

\mathbf{B}(y=0) = \displaystyle\frac{\mu_0}{2\pi}\left( \displaystyle\frac{ I_1(t)}{x+a} + \displaystyle\frac{I_2(t)}{x} + \displaystyle\frac{ I_3(t)}{x-a} \right)\mathbf{u}_{y}

con la coordenada x variando entre -\infty y +\infty. Esta expresión no es válida en las posiciones de los hilos, x = − a,0, + a, pues el campo se hace infinito debido a la presencia del hilo correspondiente.

2.3 Fuerza sobre el hilo central

La fuerza ejercida por un campo magnético \mathbf{B}' sobre una espira es

\mathbf{F} = I\int_{\Gamma} \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}'

En nuestro caso la espira es un trozo de longitud h del hilo 2. El campo B' es el dado por la expresión del apartado anterior, pero quitando la contribución del propio hilo 2, es decir

\mathbf{B}'=\mathbf{B}_{1+3} = \displaystyle\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\displaystyle\frac{ I_1(t)}{x+a} + \displaystyle\frac{ I_3(t)}{x-a} \right)\mathbf{u}_{y}

En los puntos del hilo 2 se tiene x = 0, por tanto

\mathbf{B}_{1+3}(x=0) = \displaystyle\frac{\mu_0(I_1(t)-I_3(t))}{2\pi a}\mathbf{u}_{y}

Este campo es uniforme a lo largo de los puntos del hilo 2. La fuerza es entonces

\mathbf{F}_2 = I_2\mathbf{h}\times\mathbf{B}_{1+3}(x=0) = I_2L\mathbf{u}_{z}\times B_{1+3}(x=0)\mathbf{u}_{y} = -I_2LB_{1+3}(x=0) \mathbf{u}_{x}

Sustituyendo la expresión del campo B1 + 3(x = 0) y de las corrientes queda

\mathbf{F}_2 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}\mu_0 h I_0^2}{2\pi a}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\cos(\omega t)\mathbf{u}_{x} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}\mu_0 h I_0^2}{4\pi a}\,\mathrm{sen}\,(2\omega t)\mathbf{u}_{x}

La magnitud de la fuerza oscila con frecuencia . El máximo valor absoluto se alcanza cuando el seno es +1 ó -1. Entonces el módulo de la fuerza máxima es

F_2^{\mathrm{max}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}\mu_0 h I_0^2}{4\pi a} = 0.693\,\mathrm{N}

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