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Campo magnético FII GIA

De Laplace

Contenido

1 Introducción

2 Fuerza y par ejercidos por un campo magnético

El campo magnético ejerce fuerzas sobre cargas en movimiento. Estas pueden ser cargas libres o estar incluidas en una corriente que circule por un cable.

2.1 Fuerza sobre una carga en movimiento

Dada una carga de valor q, que se mueve con velocidad \vec{v} en el seno de un campo magnético \vec{B} la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la carga es


\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}

Esta fuerza tiene las siguientes propiedades

  1. La fuerza es perpendicular tanto a \vec{v} como a \vec{B}
  2. La fuerza no realiza trabajo sobre la carga, por lo que no varía su energía cinética. Por tanto, el módulo de su velocidad es constante, aunque no así su dirección.
    1. Si una carga penetra en una región de campo uniforme con un velocidad perpendicular al campo se mueve describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a las líneas de campo.
  3. El módulo de la fuerza es proporcional al módulo de la velocidad, al módulo del campo y al seno del ángulo que forman.

Si en la región en que se mueve la carga hay a la vez un campo eléctrico y un campo magnético la fuerza total sobre la carga es la suma de la fuerza eléctrica y la magnética.


\vec{F} = q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})

Esta fuerza recibe el nombre de Fuerza de Lorentz.

2.2 Fuerza sobre una corriente

2.2.1 Hilo recto en un campo uniforme

Supongamos un hilo recto de longitud L por el que circula una corriente I. Si el hilo está en el seno de un campo magnético uniforme \vec{B} , este campo ejerce una fuerza sobre cada carga que se mueve en el hilo. La fuerza total es la suma de las fuerzas sobre todas las cargas que se mueven en el hilo. Esta expresión es


\vec{F} = I\,\vec{L}\times\vec{B}

Aquí, I es la corriente que circula por el hilo, \vec{L} es un vector cuyo módulo es la longitud del hilo, su dirección la del hilo y su sentido el de la corriente.

2.2.2 Hilo en un campo magnético no uniforme

Si tenemos un hilo de forma arbitraria, la expresión anterior no es válida. Hay que dividir el hilo en pequeños elementos de corriente y calcular la fuerza sobre cada elemento. La fuerza total sobre el hilo es la suma de las fuerzas sobre todos los elementos de corriente que lo componen.

Un elemento de corriente es un trozo muy pequeño del hilo. La fuerza magnética sobre el elemento de corriente es


\mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}

El vector \mathrm{d}\vec{l} tiene de módulo la longitud del pequeño elemento de corriente, dirección la tangente al hilo en ese punto y sentido el de la corriente.

La fuerza sobre todo el hilo es la suma de las fuerzas sobre cada elemento de corriente. Esto es la integral


\vec{F}=\int\limits_{\Gamma}\mathrm{d}\vec{F}
= \int\limits_{\Gamma} I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}
=I\,\int\limits_{\Gamma} \mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}

Γ es la curva que define la forma del hilo. La corriente puede salir de la integral pues es constante a lo largo del hilo.

2.3 Fuerza y par sobre una espira en un campo uniforme

Si el hilo es cerrado, formando un lazo, recibe el nombre de espira. En el caso de una espira recorrida por una corriente I en el seno de un campo magnético uniforme la fuerza neta sobre la espira es cero.


\vec{F} = I\,\oint\limits \mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}
=
 I\,\left(\oint\limits \mathrm{d}\vec{l}\right)\times\vec{B}
=\vec{0}

El campo puede salir de la integral pues al ser uniforme es constante a lo largo de la espira. Ahora bien, el resultado de esa integral es nulo. Para hacerla hay que poner los elementos de línea unos detrás de otro y sumarlos vectorialmente. Como el punto inicial y final son el mismo, la suma vectorial es nula, por lo que la fuerza neta es nula.

Sin embargo, un campo uniforme ejerce un momento de fuerzas sobre una espira. Definimos el momento magnético de una espira plana como un vector perpendicular a ella dado por


\vec{\mu} = I\,A\,\hat{\vec{n}}

A es el área de la espira. El vector \hat{\vec{n}} es un vector unitario, perpendicular a la espira y cuyo sentido viene dado por la regla de la mano derecha. Si cerramos la mano derecha dejando el pulgar fuera, cuando el sentido de giro de los dedos cerrados coincide con el de la espira, el pulgar indica el sentido del vector \hat{\vec{n}} .

EL par que el campo ejerce sobre la espira es


\vec{M} = \vec{\mu}\times\vec{B}

Este par tiende a hacer girar la espira de modo que su momento se alinee con el campo.

La magnitud del momento de fuerzas no depende del punto respecto al que se calcule, pues la fuerza neta sobre el dipolo es cero.

3 Ley de Biot-Savart

El campo magnético es originado por corrientes. Consideraremos aquí el caso de corrientes estacionarias, es decir, que no dependen explícitamente del tiempo. Estas corrientes campo estáticos, que no dependen del tiempo.

Consideramos un elemento de corriente recorrido por una intensidad I. El campo producido por este elemento de corriente en un punto P del espacio es


\mathrm{d}\vec{B}_P = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{\vec{r}}}{r^2}

El vector \mathrm{d}\vec{l} representa el elemento de corriente. El vector \vec{r} es el vector que une el elemento de corriente con el punto P, mientras que el vector \hat{\vec{r}}= \vec{r}/|\vec{r}| es el vector unitario con la dirección y sentido de \vec{r} . La constante μ0 es la permeabilidad magnética del vacío. En el SI vale


\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m}{A}

El campo magnético creado por un hilo recorrido por una intensidad I en un punto P es la suma vectorial de los campos creados en ese punto por cada uno de los elementos en que podemos dividir el hilo. Esto es


\vec{B}_P = \int\limits_{\Gamma}\mathrm{d}\vec{B}_P
=\int\limits_{\Gamma}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{\vec{r}}}{r^2}
=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{\Gamma}\frac{\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{\vec{r}}}{r^2}

3.1 Campo en el eje de una espira

3.2 Campo en un solenoide

4 Líneas de campo magnético

  1. Las líneas de campo magnético son cerradas. Esto se debe a que no existen cargas magnéticas aisladas.
  2. Dan vueltas alrededor de las corrientes.
  3. En el caso de los imanes, penetran en el imán por el polo sur, lo atraviesan y salen por el polo norte.
  4. No representan la traye

5 Ley de Gauss

6 Ley de Ampère

6.1 Campo de un hilo infinito

6.2 Fuerza entre dos hilos infinitos

7 Magnetismo en la materia

7.1 Imanación

7.2 Ferromagnetismo

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