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Campo eléctrico en el eje de un anillo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Halle el campo eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay una densidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2 (R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R_1\to 0? ¿Y si R_2\to\infty? Considere en particular el comportamiento en las proximidades de z = 0.


Archivo:aro_corona_disco.gif

2 Campo de un anillo uniforme

La existencia de una distribución uniforme de carga eléctrica en el anillo significa que la cantidad de carga eléctrica por unidad de longitud es la misma en todos los puntos del anillo. O lo que es la mismo, que existe una relación constante entre la cantidad de carga contenida en un tramo arbitrario de anillo y la longitud de dicho tramo. De esta forma, si la cantidad total de carga distribuida es Q, y el anillo tiene radio R, la densidad lineal de carga en cualquier punto P' del anillo será:

\lambda_e(\mathbf{r}')=\lim_{\Delta l'\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta l'}\bigg\rfloor_{P'}=\frac{\Delta q}{\Delta l'}\mathrm{,}\;\;\forall\,\Delta l'\quad\Longrightarrow\quad\lambda_e(\mathbf{r}')=\frac{Q}{2\pi R}=\lambda\ \mathrm{,}\;\,\mathrm{cte.}

La expresión general para el campo creado por una distribución lineal de carga es

\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\Gamma_f}\lambda(\mathbf{r}')\frac{
(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}l'

Como en este caso se trata de una distribución uniforme y dicha densidad es constante, puede extraerse de la integral. Por otra parte, deseamos calcular el campo eléctrico exclusivamente en los puntos del eje perpendicular al plano que contiene al aro y que pasa por el centro de éste, y que tomaremos como eje Z, de manera que,

\mathbf{r}=z\mathbf{u}_{z}

Por su parte, podemos parametrizar los puntos del anillo como

\mathbf{r}'=R(\cos\varphi'\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_{y})     \mathrm{d}\mathbf{r}'=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{\mathrm{d}\varphi'}\mathrm{d}\varphi'=R(-\mathrm{sen}\varphi'\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi'\mathbf{u}_{y})\,\mathrm{d}\varphi'    \mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\mathbf{r}'|=R\,\mathrm{d}\varphi'

y la distancia del punto de medida a la posición de las fuentes, igual para todos los puntos del anillo

\mathbf{r}-\mathbf{r}'=-R\cos\varphi'\mathbf{u}_{x}-R\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}     |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|=\sqrt{R^2+z^2}

El campo nos queda entonces

\mathbf{E}(z)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{2\pi}\!\!
\left(\frac{-R\cos\varphi'\mathbf{u}_{x}-R\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}}{(R^2+z^2)^{3/2}}\right)R\,\mathrm{d}\varphi'

Las componentes en x e y se anulan al integrar sobre un periodo, de forma que el campo sólo posee componente en la dirección z. Este resultado es previsible a la vista de otros problemas con sistemas simétricos. Para cada punto del anillo existe uno diametralmente opuesto cuyas componentes x e y del campo anulan a las del primero. Esto nos deja sólo con la componente z que además no depende de \varphi, y que podemos integrar trivialmente

\mathbf{E}=\frac{\lambda R z \mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0 (R^2+z^2)^{3/2}}=
\frac{Qz\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0 (R^2+z^2)^{3/2}}

con Q = 2πRλ la carga total. Este campo posee una dependencia en z como la ilustrada en la figura. Justo en el punto central el campo es nulo. Al aumentar z crece, para luego disminuir a medida que nos alejamos del anillo y de su influencia.

Cuando z\to\infty el campo tiende a

\mathbf{E}\to \frac{\lambda R z \mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0|z|^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q
\mathbf{r}}{r^3}

Según esto, si nos situamos puntos muy alejados del anillo, su tamaño pasa a ser despreciable y lo percibimos simplemente como una carga puntual.

3 Campo de una corona

Nuestro siguiente problema es el de una corona circular de radio interior R1 y exterior R2. Podemos considerar esta corona como compuesta de anillos concéntricos, al estilo de aros de cebolla. Cada uno de estos anillos tendrá un cierto radio ρ' y un cierto espesor dρ'. Podemos sumar el campo de los diferentes anillos para obtener el campo de la corona completa. El campo de cada anillo será
d\mathbf{E} = \frac{dQ\,z\mathbf{u}_{z}}{4\pi\varepsilon_0(\rho'^2+z^2)^{3/2}}

donde la carga dQ es la cantidad de carga, diferencial, contenida en el anillo. La obtenemos sabiendo que la densidad de carga de la corona es uniforme y que el área del anillo equivale a su longitud por su anchura

\mathrm{d}Q=\sigma_s\,\mathrm{d}S= \sigma_0\,(2\pi\rho')\,\mathrm{d}\rho'

El campo de la corona será entonces

\mathbf{E}=\frac{1}{2\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma_0\,\rho'z\,\mathrm{d}\rho'}
{(\rho'^2+z^2)^{3/2}}=\frac{\sigma_0
z\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0}
\left(\frac{1}{\sqrt{R_1^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{R_2^2+z^2}}\right)

Este campo es válido para toda corona circular. En la gráfica tenemos el resultado para R2 = 2R1.

4 Campo de un disco

Podemos analizar el resultado obtenido para una corona estudiando los distintos límites indicados:

Si R_1\to 0 la corona se convierte en un disco. La expresión del campo se reduce entonces a

\lim_{R_1\to 0}\mathbf{E}=\frac{\sigma_0 z\mathbf{u}_{z}}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{R_2^2+z^2}}\right)

donde hay que tener la precaución de tomar sólo la raíz positiva, por ser el denominador una distancia, esto es,

\sqrt{z^2} = |z|

Este campo presenta una discontinuidad en z = 0. Para ello, desarrollamos el campo alrededor de este límite y nos queda

\lim_{z\to 0}\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z=0^+) \\ & \\
-\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z=0^-) \end{cases}

esto es, el campo es igual al producido por un plano infinito. Esto es razonable, ya que a medida que nos acercamos al disco, éste se ve cada vez más grande.

Este límite muestra asimismo que un disco de carga, por pequeño que sea, produce una discontinuidad en el campo en sus proximidades. Esto sirve como justificación de que todo campo sufre una discontinuidad en su componente normal al atravesar una superficie de carga.

Por otro lado, si en lugar de acercarnos al plano, nos alejamos de él, haciendo z muy grande, el campo se convierte en

\mathbf{E}\sim \frac{\sigma_0 R_2^2}{4\varepsilon_0 z^2}\mathbf{u}_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{Q}{z^2}\mathbf{u}_{z}

esto es, se reduce al de una carga puntual.

5 Campo de un plano infinito

Por último, si tomamos simultáneamente los dos límites, el campo se reduce al de un plano infinito


\lim_{
{R_2\to\infty} \atop
{R_1\to 0}}\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} &
(z>0)\\ & \\
-\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z<0)\end{cases}

Este campo es independiente de la distancia al plano. Además, puesto que cualquier recta normal al plano puede considerarse el “eje” de este disco infinito, este resultado no solo es válido para los puntos del eje Z, sino para cualquier punto del espacio.

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