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Campo eléctrico de un plano y de dos planos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Empleando el resultado del disco, halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga σ0.

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia a que almacenan respectivamente densidades de carga + σ0 y − σ0.

Para el sistema de los dos planos, calcule la diferencia de potencial entre el plano cargado positivamente y el cargado negativamente.

2 Un solo plano

Al hallar el campo en el eje de un disco se llega a que su valor es

\vec{E}(z) = \frac{Q\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)

En términos de la densidad de carga superficial

\sigma_0=\frac{Q}{\pi R^2}

este campo se expresa

\vec{E}(z) = \frac{\sigma_0\vec{k}}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)

Para obtener el campo debido a un plano infinito con una densidad de carga uniforme, simplemente consideramos el límite de un disco cuyo radio tiende a infinito

\lim_{R\to\infty} \vec{E}(z) = \frac{\sigma_0\vec{k}}{2\varepsilon_0}\,\frac{z}{|z|}

Si separamos en los dos semiespacios, teniendo en cuenta que

\frac{z}{|z|} = \mathrm{sign}(z)=\begin{cases}+1 & z > 0\\ -1 & z < 0 \end{cases}

queda

\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} &
(z<0)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>0)\end{cases}

En principio, este resultado solo vale para el eje del disco. Sin embargo, cuando éste se extiende a todo un plano, cualquier recta normal al plano puede considerarse como eje de un disco cuyo límite es el plano. Por tanto, el resultado anterior es válido para todos los puntos del espacio.

Por supuesto, los planos infinitos no existen en la realidad, pero el resultado anterior sirve como aproximación al campo creado por una superficie plana cargada, siempre que no estemos muy alejada de ella (y la veamos por tanto como “infinita”).

Este resultado nos dice que, a diferencia de lo que ocurre para una carga puntual, el campo creado por un plano infinito uniformemente cargado es independiente de la distancia al plano. No disminuye al alejarnos de él. El cómo es posible que sumando campos que disminuyen con la distancia resulte un campo que no lo hace, puede entenderse notando que al alejarnos del plano, el campo de cada carga disminuye, pero a cambio “vemos” el campo de más cargas y un factor se cancela con el otro.

3 Dos planos paralelos

Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales.

Según hemos visto, el campo debido a un plano cargado uniformemente situado en z = 0 es


\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} &
(z<0)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>0)\end{cases}

Si este plano está en z = − a / 2 simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano


\vec{E}_1=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} &
(z<-a/2)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>-a/2)\end{cases}

Para el segundo plano, cambiamos a por a y σ0 por − σ0, lo que nos deja


\vec{E}_2=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} &
(z<a/2)\\ & \\ \displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>a/2)\end{cases}

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones:

Por debajo del plano inferior (z < − a / 2)
En esta zona los campos son iguales y opuestos
\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}
Entre los dos planos (a / 2 < z < a / 2)
En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido
\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{k}
Por encima del plano superior (z > a / 2)
En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos
\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}

Tenemos entonces que dos planos infinitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos.

Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el infinito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos.

4 Diferencia de potencial

Si llamamos A a un punto del plano con carga positiva (en z = − a / 2) y B un punto del plano con carga negativa (en z = + a / 2), la diferencia de potencial entre ambos es igual a

V_A-V_B = -\int_B^A \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_A^B\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}

Considerando un camino rectilíneo desde un plano al otro

\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}z\vec{k}

por lo que la integral se reduce a

V_A-V_B = \int_{-a/2}^{a/2}\left(\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{k}\right)\cdot(\mathrm{d}z\vec{k})=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}a

Al ser el campo uniforme la diferencia de potencial es simplemente el producto del campo por la distancia.

En términos de la carga total acumulada en cada plano quedaría

\Delta V = V_A-V_B = \frac{(Q/S)a}{\varepsilon_0}=\frac{a}{\varepsilon_0 S}Q

Esta expresión es igual a la que se obtiene al considerar un condensador plano.

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